Na decoração natalina, haverá uma árvore com 2,1 m de altura, colocada perpendicularmente no chão plano. Pretende-se decorá-la com uma fita amarrada no topo e esticada de modo a formar um ângulo de 30° com o chão. Qual será,aproximadamente, a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão?Considere√2 = 1,41 e √3= 1,73.

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, vamos desenhar a figura que representa a situação descrita:

Observamos que a fita forma um triângulo retângulo com a árvore e o chão. O ângulo entre a fita e o chão é de 30°. Podemos nomear os lados do triângulo como:

• O lado que vai do pé da árvore até a fita será chamado de x;
• O lado que vai do topo da árvore até a fita será chamado de y;
• O lado que vai do pé da árvore até o ponto em que a fita toca o chão será chamado de z.

Como o ângulo entre a fita e o chão é de 30°, podemos aplicar as razões trigonométricas para relacionar os lados do triângulo:

tg(30°) = y / x

Como tg(30°) = √3 / 3, podemos reescrever a equação acima como:

√3 / 3 = y / x

Multiplicando ambos os lados pela altura da árvore (2,1 m), obtemos:

y = (√3 / 3) * 2,1

y ≈ 1,73 / 3 * 2,1

y ≈ 1,23 m

Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de x:

x² = y² + z²

Substituindo o valor de y encontrado anteriormente, obtemos:

x² = 1,23² + z²

x² = 1,51 + z²

Como x é a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão, podemos reescrever a equação acima como:

z² = x² - 1,51

Z = √(x² - 1,51)

Para encontrar o valor de x, podemos aplicar novamente o teorema de Pitágoras, considerando que x é a hipotenusa do triângulo:

x² = 2,1² + z²

x² = 4,41 + z²

Z = √(x² - 4,41)

Substituindo a equação de z em função de x, obtemos:

√(x² - 1,51) = √(x² - 4,41)

x² - 1,51 = x² - 4,41

x ≈ √3,9

x ≈ 3,6 m

Portanto, a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão é aproximadamente 3,6 metros.

O gabarito correto é, portanto, C) 3,6.