O número de soluções (p, q) do sistema      cos2 p – 2senq = 0      cos2 p + 2senq = 1,5com p, q ∈ [- π, π], é

Vamos resolver o sistema de equações acima. Primeiramente, vamos isolar a variável q na segunda equação:

cos² p + 2senq = 1,5

2senq = 1,5 - cos² p

senq = (1,5 - cos² p) / 2

Agora, vamos substituir essa expressão na primeira equação:

cos² p - 2senq = 0

cos² p - 2((1,5 - cos² p) / 2) = 0

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração:

2cos² p - 2(1,5 - cos² p) = 0

Vamos desenvolver a equação:

2cos² p - 3 + 2cos² p = 0

4cos² p - 3 = 0

Vamos isolar o termo cos² p:

cos² p = 3/4

Agora, vamos encontrar os valores de p que satisfazem essa equação. Lembre-se de que cos² p é sempre um valor entre 0 e 1:

cos² p = 3/4 => cos p = ±√(3/4) => p = ±arccos(±√(3/4))

Como p ∈ [-π, π], temos:

p = -arccos(√(3/4)), -arccos(-√(3/4)), arccos(√(3/4)), arccos(-√(3/4))

Agora, vamos encontrar os valores de q correspondentes a cada um desses valores de p:

senq = (1,5 - cos² p) / 2

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = 1/8 => q = arcsen(1/8)

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = -1/8 => q = -arcsen(1/8)

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = 1/8 => q = arcsen(1/8)

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = -1/8 => q = -arcsen(1/8)

Portanto, temos 4 valores de p e 2 valores de q para cada um desses valores de p. Isso significa que há 8 soluções para o sistema de equações.

Logo, a resposta certa é C) 8.