Os pontos (x,y) ∈ R² pertencem à circunferência dada pela equação x² + y² −2x−4y + 3 = 0. O menor valor de a ∈ R para o qual a reta y = x + a tangencia a circunferência citada, é igual a:

Para encontrar o menor valor de a, podemos começar reescrevendo a equação da circunferência em sua forma padrão:

(x - 1)² + (y + 2)² = 4

Isso nos permite identificar o centro da circunferência como (1, -2) e seu raio como 2.

Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente à circunferência. Sabemos que a reta tangente à circunferência em um ponto P é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto P.

Portanto, se a reta y = x + a é tangente à circunferência, então seu coeficiente angular é o negativo inverso do coeficiente angular da reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto de tangência.

Para encontrar o ponto de tangência, podemos igualar as equações da circunferência e da reta:

x² + y² - 2x - 4y + 3 = 0

y = x + a

Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos:

x² + (x + a)² - 2x - 4(x + a) + 3 = 0

Simplificando, obtemos:

2x² + 2ax + a² - 6x - 4a + 3 = 0

Agora, precisamos encontrar o valor de a que torna a reta tangente à circunferência. Isso ocorre quando a equação acima tem uma única raiz, ou seja, quando o discriminante é igual a zero:

(-6)² - 4(2)(a² - 4a + 3) = 0

Simplificando, obtemos:

a² - 5a - 1 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

a = (-1) ou a = 1

No entanto, sabemos que o menor valor de a é o correto, portanto:

a = -1

Portanto, o menor valor de a é igual a -1, que é a opção E).