Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x – cos x = 1 são

Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x - cos x = 1 são

• A)arccos (3/5) e π.
• B)arcsen (3/5) e π
• C)arcsen (-4/5) e π.
• D)arccos(-4/5) e π .
• E)arccos (4/5) e π .

Para resolver essa equação, vamos começar rearranjando os termos para ter todos do lado esquerdo:

2 sen x - cos x - 1 = 0

Agora, vamos tentar encontrar uma forma de expressar os termos sen x e cos x em termos de uma única variável. Podemos fazer isso utilizando a identidade trigonométrica:

sen x = ±√(1 - cos² x)

Substituindo essa identidade na equação original, obtemos:

2(±√(1 - cos² x)) - cos x - 1 = 0

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar os valores de x.

Um jeito de resolver é começar a isolar o termo cos x:

2(±√(1 - cos² x)) = cos x + 1

Elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos:

4(1 - cos² x) = (cos x + 1)²

Expandindo o lado direito da equação, obtemos:

4(1 - cos² x) = cos² x + 2 cos x + 1

Agora, podemos rearranjar os termos para obter uma equação do segundo grau:

3 cos² x + 2 cos x - 3 = 0

Dividindo ambos os lados da equação por 3, obtemos:

cos² x + (2/3) cos x - 1 = 0

Agora, podemos resolver essa equação utilizando o método de fatoração:

(cos x - 1)(cos x + 3/5) = 0

Isso nos dá dois valores possíveis para cos x:

cos x = 1 ou cos x = -3/5

Para encontrar os valores de x, podemos utilizar a função inversa do cosseno:

x = arccos (1) ou x = arccos (-3/5)

Como arccos (1) = 0, não está no intervalo [0, 2π], podemos descartá-lo.

Portanto, os valores de x que satisfazem a equação são:

x = arccos (3/5) e x = π

O gabarito correto é, portanto, A)arccos (3/5) e π.