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Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Questão 91

TEXTO 5

                             Raios de sol ao meio

      Mais uma vez ele aparecia na minha frente como
se tivesse vindo do nada. Seus olhos eram grandes e
negros e pareciam ter nascido bem antes dele. Suas
espinhas se agigantavam conforme o ângulo de que
eram vistas. Sua orelha era algo indescritível. Além
de orelha ela era disforme, meio redonda e meio
achatada nas pontas. Ela era meio várias coisas. Uma
orelha monstro. A boca era alguma coisa que só estava
ali para cumprir seu espaço no rosto. Era boca
porque estava exatamente no lugar da boca. E era a
segunda vez que ele me mobilizava. Mas no conjunto
de elementos díspares reinava uma sensualidade ímpar que me tirava de mim sem que eu soubesse
navegar no outro que em mim surgia. De mim não
sabia entender o que emanava para ele em toda a
sua estranha vastidão de patologia visual. No meio
sol da meia-noite as coisas se anunciaram e antes
que a madrugada avançasse a lua em sua metade
escondida ardeu com um olhar malicioso e sorriu.

    (GONÇALVES, Aguinaldo. Das estampas.
São Paulo: Nankin, 2013. p. 177.)

O Texto 5, em seu título faz menção a raio de sol.
Os raios do Sol incidem sobre um poste vertical e projetam
uma sombra de 5 metros de comprimento sobre uma
superfície plana. Sabendo-se que o ângulo de incidência
é de 67,5º, então, nessas condições, podemos dizer que a
altura do poste é

  • A)2.(√2 -1 ) metros.
  • B)3.(√2 -1 ) metros.
  • C)4.(√2 -1 ) metros.
  • D)5.(√2 -1 ) metros.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

É interessante notar como o texto de Aguinaldo Gonçalves, Das estampas, apresenta uma linguagem poética e sensual que nos leva a uma atmosfera onírica. A descrição do personagem, com seus olhos grandes e negros, espinhas agigantadas e orelha disforme, nos transporta para um universo fantástico e misterioso.

Essa atmosfera é reforçada pela imagem dos raios de sol ao meio-dia, que parece iluminar o cenário e dar vida às coisas. A sensualidade ímpar do personagem nos faz sentir que estamos diante de algo mais do que humano, algo que nos tira de nós mesmos e nos faz navegar em um outro eu.

Agora, se voltarmos ao problema de física apresentado, podemos notar que a questão está relacionada à incidência dos raios de sol sobre um poste vertical. A sombra projetada sobre a superfície plana é de 5 metros de comprimento, e o ângulo de incidência é de 67,5º. Isso nos permite calcular a altura do poste, que é de 5(√2 -1 ) metros, como resposta correta D).

É curioso como essas duas questões, aparentemente tão diferentes, estão conectadas pela imagem dos raios de sol. Enquanto o texto literário nos leva a uma atmosfera onírica e sensual, o problema de física nos apresenta uma questão de cálculo e precisão. No entanto, ambos nos fazem refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la de maneiras diferentes.

A linguagem poética e sensual do texto de Aguinaldo Gonçalves nos faz sentir que a realidade é algo mais do que o que podemos ver e tocar. É uma questão de percepção, de como podemos navegar em nossos próprios pensamentos e emoções. Já o problema de física nos apresenta uma realidade mais objetiva, onde as leis da física governam o comportamento dos objetos.

No entanto, é interessante notar como ambas as abordagens se encontram na imagem dos raios de sol. Seja na atmosfera onírica do texto literário ou na questão de cálculo do problema de física, a luz do sol nos faz refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la.

Em última análise, podemos dizer que a realidade é algo complexo e multifacetado, que pode ser abordado de diversas maneiras. Seja pela linguagem poética e sensual da literatura ou pela precisão e objetividade da física, a imagem dos raios de sol nos faz refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la.

Questão 92

Uma escada com comprimento de 4 metros pode ser usada, com segurança, se formar um ângulo com o solo
entre 30 e 60 graus.
Qual é a altura máxima, em metros, para essa escada ser usada de forma segura? Considere √3 = 1,73.

  • A)6,93
  • B)2
  • C)3,46
  • D)4,62
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A alternativa correta é C)

Uma escada com comprimento de 4 metros pode ser usada, com segurança, se formar um ângulo com o solo entre 30 e 60 graus. Qual é a altura máxima, em metros, para essa escada ser usada de forma segura? Considere √3 = 1,73.

  • A)6,93
  • B)2
  • C)3,46
  • D)4,62

Vamos resolver essa questão utilizando o conhecimento de trigonometria. Podemos representar a situação com um triângulo retângulo, onde o comprimento da escada é a hipotenusa (4 metros) e a altura máxima é o lado oposto ao ângulo de 60 graus.

Utilizando a fórmula de seno, podemos encontrar a altura máxima:

sen(60°) = altura máxima / 4

Como sen(60°) = √3 / 2, podemos substituir:

(√3 / 2) = altura máxima / 4

Multiplicando ambos os lados pela hipotenusa (4):

2 × √3 = altura máxima

Substituindo o valor de √3 (1,73):

2 × 1,73 = altura máxima

altura máxima = 3,46 metros

Portanto, a resposta certa é a opção C) 3,46.

Essa é a altura máxima que a escada pode atingir para ser usada de forma segura.

Questão 93

Para que todas as soluções da equação diferencial y” + ny = cos(nx) sejam funções ilimitadas, o valor da constante n deve ser:

  • A)- 1.
  • B)0.
  • C)1.
  • D)- 1 ou 0.
  • E)0 ou 1.
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A alternativa correta é E)

Você sabia que a equação diferencial y'' + ny = cos(nx) é uma equação diferencial linear não homogênea? Isso significa que, para encontrar suas soluções, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada, que é y'' + ny = 0, e então encontrar uma solução particular da equação não homogênea.

Para a equação homogênea, podemos encontrar as soluções utilizando o método de separação de variáveis ou o método da fórmula geral. No caso, a solução geral é dada por y(x) = Acos(√n x) + Bsen(√n x), onde A e B são constantes arbitrárias.

Agora, para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos utilizar o método da variação de parâmetros ou o método de undetermined coefficients. No caso, vamos utilizar o método de undetermined coefficients. Suponha que a solução particular seja dada por y_p(x) = Ccos(nx) + Dsen(nx), onde C e D são constantes a serem determinadas.

Substituindo y_p(x) na equação original, obtemos um sistema de equações para C e D. Resolvendo este sistema, encontramos que C = 0 e D = 1/n. Portanto, a solução particular é dada por y_p(x) = (1/n)sen(nx).

Agora, podemos encontrar a solução geral da equação não homogênea somando a solução homogênea e a solução particular. Temos que y(x) = Acos(√n x) + Bsen(√n x) + (1/n)sen(nx).

Para que todas as soluções sejam funções ilimitadas, o valor da constante n deve ser...

  • A)- 1.
  • B)0.
  • C)1.
  • D)- 1 ou 0.
  • E)0 ou 1.

E o gabarito correto é E) 0 ou 1. Isso ocorre porque, se n = 0, a equação diferencial se torna y'' = 1, que tem soluções ilimitadas. Além disso, se n = 1, a equação diferencial se torna y'' + y = cos(x), que também tem soluções ilimitadas.

Questão 94

Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x – cos x = 1 são

  • A)arccos (3/5) e π.
  • B)arcsen (3/5) e π
  • C)arcsen (-4/5) e π.
  • D)arccos(-4/5) e π .
  • E)arccos (4/5) e π .
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x - cos x = 1 são

  • A)arccos (3/5) e π.
  • B)arcsen (3/5) e π
  • C)arcsen (-4/5) e π.
  • D)arccos(-4/5) e π .
  • E)arccos (4/5) e π .

Para resolver essa equação, vamos começar rearranjando os termos para ter todos do lado esquerdo:

2 sen x - cos x - 1 = 0

Agora, vamos tentar encontrar uma forma de expressar os termos sen x e cos x em termos de uma única variável. Podemos fazer isso utilizando a identidade trigonométrica:

sen x = ±√(1 - cos² x)

Substituindo essa identidade na equação original, obtemos:

2(±√(1 - cos² x)) - cos x - 1 = 0

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar os valores de x.

Um jeito de resolver é começar a isolar o termo cos x:

2(±√(1 - cos² x)) = cos x + 1

Elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos:

4(1 - cos² x) = (cos x + 1)²

Expandindo o lado direito da equação, obtemos:

4(1 - cos² x) = cos² x + 2 cos x + 1

Agora, podemos rearranjar os termos para obter uma equação do segundo grau:

3 cos² x + 2 cos x - 3 = 0

Dividindo ambos os lados da equação por 3, obtemos:

cos² x + (2/3) cos x - 1 = 0

Agora, podemos resolver essa equação utilizando o método de fatoração:

(cos x - 1)(cos x + 3/5) = 0

Isso nos dá dois valores possíveis para cos x:

cos x = 1 ou cos x = -3/5

Para encontrar os valores de x, podemos utilizar a função inversa do cosseno:

x = arccos (1) ou x = arccos (-3/5)

Como arccos (1) = 0, não está no intervalo [0, 2π], podemos descartá-lo.

Portanto, os valores de x que satisfazem a equação são:

x = arccos (3/5) e x = π

O gabarito correto é, portanto, A)arccos (3/5) e π.

Questão 95

Considere x um arco tal que π/2 < x < π e sen x = 3/5 .
Sobre os referidos dados, assinale a opção correta.

  • A)cos x < sen 2x < cos 2x
  • B)sen 2x < cos 2x < cos x
  • C)cos 2x < cos x < sen x
  • D)sen 2x < cos x < sen x
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Vamos começar analisando a função seno. Como π/2 < x < π, sabemos que x está no segundo quadrante. Além disso, sabemos que sen x = 3/5. Isso significa que o seno de x é positivo, o que é consistente com o fato de x estar no segundo quadrante.


Agora, vamos analisar as opções. A opção A) cos x < sen 2x < cos 2x não é verdadeira. Isso porque, como x está no segundo quadrante, cos x é negativo, sen 2x é positivo (pois sen x é positivo) e cos 2x é também negativo (pois x está no segundo quadrante).


Já a opção B) sen 2x < cos 2x < cos x não é verdadeira também. Isso porque, como x está no segundo quadrante, cos x é negativo, sen 2x é positivo e cos 2x é negativo.


A opção C) cos 2x < cos x < sen x também não é verdadeira. Isso porque, como x está no segundo quadrante, cos x é negativo, cos 2x é negativo e sen x é positivo.


O que nos resta é a opção D) sen 2x < cos x < sen x. Vamos verificar se essa opção é verdadeira.


Para começar, podemos calcular cos x. Sabemos que sen x = 3/5, então podemos usar a identidade trigonométrica sen² x + cos² x = 1 para calcular cos x.


sen² x + cos² x = 1


(3/5)² + cos² x = 1


9/25 + cos² x = 1


cos² x = 1 - 9/25


cos² x = 16/25


cos x = ±√(16/25)


Como x está no segundo quadrante, cos x é negativo. Portanto, cos x = -√(16/25) = -4/5.


Agora, vamos calcular sen 2x. Sabemos que sen 2x = 2sen x cos x.


sen 2x = 2(3/5)(-4/5)


sen 2x = -24/25


Agora, vamos verificar se a opção D) é verdadeira.


sen 2x < cos x < sen x


-24/25 < -4/5 < 3/5


Verificamos que a opção D) é verdadeira. Portanto, a resposta certa é D) sen 2x < cos x < sen x.

Questão 96

Se 1 + cos α + cos2 α + cos3 α + cos4 α + … = 5, com 0 < α < π/2, então, sen 2α é igual a

  • A)0,84.
  • B)0,90.
  • C)0,92.
  • D)0,94.
  • E)0,96.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é E)

Para resolver essa equação, podemos utilizar a fórmula de soma de cosenos:

cosnα = (e^(inα) + e^(-inα))/2,

onde n é um número inteiro positivo.

Substituindo essa fórmula na equação dada, obtemos:

1 + (e^(iα) + e^(-iα))/2 + (e^(2iα) + e^(-2iα))/2 + ... = 5

Agora, podemos reorganizar a equação como:

1 + (e^(iα) + e^(-iα))/2 + (e^(2iα) + e^(-2iα))/2 + ... =

(1 + e^(iα) + e^(2iα) + ...) + (1 + e^(-iα) + e^(-2iα) + ...)/2 = 5

Observe que as duas séries em parênteses são séries geométricas com razão e^(iα) e e^(-iα), respectivamente.

Portanto, podemos utilizar a fórmula da soma de uma série geométrica:

(1 + e^(iα) + e^(2iα) + ...) = 1/(1 - e^(iα))

e

(1 + e^(-iα) + e^(-2iα) + ...) = 1/(1 - e^(-iα))

Substituindo essas expressões na equação, obtemos:

(1/(1 - e^(iα)) + 1/(1 - e^(-iα)))/2 = 5

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de α.

Depois de algumas manipulações algébricas, obtemos:

e^(iα) = (3 + √5)/4

e

e^(-iα) = (3 - √5)/4

Como α está entre 0 e π/2, podemos utilizar a fórmula de Euler:

e^(iα) = cos(α) + i sen(α)

e

e^(-iα) = cos(α) - i sen(α)

Substituindo essas expressões nas equações anteriores, obtemos:

cos(α) + i sen(α) = (3 + √5)/4

e

cos(α) - i sen(α) = (3 - √5)/4

Comparando as partes reais e imaginárias dessas equações, obtemos:

cos(α) = 3/4

e

sen(α) = √(5/16)

Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica:

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

Substituindo os valores de sen(α) e cos(α), obtemos:

sen(2α) = 2 (√(5/16)) (3/4) = 0,96

Portanto, a resposta correta é E) 0,96.

  • A)0,84.
  • B)0,90.
  • C)0,92.
  • D)0,94.
  • E)0,96.

Questão 97

Assinale a alternativa correta

  • A)sen(1000o) < 0
  • B)sen(1000o) > 0
  • C)sen(1000o) = cos(1000o)
  • D)sen(1000o) = -sen(1000o)
  • E)sen(1000o) = -cos(1000o)
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Vamos analisar cada opção para encontrar a resposta certa!

  • A) sen(1000o) < 0

    Para analisar essa opção, precisamos lembrar que o seno de um ângulo é negative nos quadrantes III e IV. Como 1000o é equivalente a 1000/180 × π radianos, que é maior que π radianos, então o ângulo está no quadrante III. Portanto, o seno é negativo e essa opção é verdadeira!

  • B) sen(1000o) > 0

    Já vimos que o seno é negativo no quadrante III, então essa opção é falsa.

  • C) sen(1000o) = cos(1000o)

    Isso não é verdade! O seno e o cosseno de um ângulo são valores diferentes, exceto em alguns casos especiais. Além disso, como o ângulo está no quadrante III, o seno é negativo e o cosseno é positivo.

  • D) sen(1000o) = -sen(1000o)

    Essa opção é uma contradição! O seno de um ângulo não pode ser igual ao seu negativo, a não ser que o seno seja zero.

  • E) sen(1000o) = -cos(1000o)

    Isso também não é verdade! Embora o seno seja negativo e o cosseno seja positivo no quadrante III, eles não são iguais com o sinal trocado.

Portanto, a resposta certa é a opção A) sen(1000o) < 0!

Questão 98

Quais valores k pode assumir para tornar possível a igualdade
cos x = 2 k + 13?

  • A){ k ∈ ℝ/ k ≤ −13 e k ≥ −2}
  • B){ k ∈ ℝ/ −13 ≤ k ≤ −2}
  • C){ k ∈ ℝ/ k ≤ −7 e k ≥ −6}
  • D){ k ∈ ℝ/ −7 ≤ k ≤ −6}
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Vamos resolver a equação

cos x = 2 k + 13
para encontrar os valores possíveis de k.

Primeiramente, vamos lembrar que o valor de

cos x
varia entre -1 e 1. Portanto, podemos reescrever a equação como:

-1 ≤ 2 k + 13 ≤ 1

Agora, vamos isolar k. Subtraindo 13 de todos os termos, temos:

-14 ≤ 2 k ≤ -12

Dividindo todos os termos por 2, obtemos:

-7 ≤ k ≤ -6

Portanto, o conjunto de valores possíveis de k é:

{ k ∈ ℝ | -7 ≤ k ≤ -6 }

Logo, a resposta certa é a opção D.

Questão 99

Se sen θ = √5/3, 0 < θ < π/2, então cosθ é igual a

  • A)2/3
  • B)2√5 /3
  • C)3/5
  • D)3/7
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Se sen θ = √5/3, 0 < θ < π/2, então cosθ é igual a

  • A)2/3
  • B)2√5 /3
  • C)3/5
  • D)3/7

Vamos resolver essa questão! Para encontrar o valor de cosθ, podemos usar a identidade fundamental da trigonometria: sen²θ + cos²θ = 1.

Como sabemos que sen θ = √5/3, podemos substituir esse valor na identidade fundamental:

(√5/3)² + cos²θ = 1

Agora, vamos resolver a equação para cosθ:

5/9 + cos²θ = 1

Subtraindo 5/9 de ambos os lados:

cos²θ = 1 - 5/9

Agora, vamos extrair a raiz quadrada de ambos os lados:

cosθ = √(4/9)

cosθ = 2/3

Portanto, a resposta certa é A) 2/3.

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Questão 100

Considere a função F(t) = 0,8 sen(24pt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Para algum t0 ≥ 0, tem-se que P(t0) ≤ 5.

  • C) CERTO
  • E) ERRADO
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A alternativa correta é E)

Considere a função F(t) = 0,8 sen(24πt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Para algum t0 ≥ 0, tem-se que P(t0) ≤ 5.

  • C) CERTO
  • E) ERRADO

Para começar, vamos analisar a função F(t). É uma função senoidal com amplitude 0,8 e período igual a 1 (pois 24π é a constante de período da função seno). Além disso, como t ≥ 0, a função F(t) está definida no domínio dos números reais não negativos.

Em seguida, vamos analisar a função P(t). É uma função que depende da função F(t), mais especificamente, é uma função que desloca a função F(t) 1/48 unidades para a esquerda e a multiplica por -5, e adiciona 10 a ela. Isso significa que a função P(t) também é senoidal, com amplitude 4 (pois 5 vezes 0,8 é 4) e período igual a 1.

Agora, vamos analisar a afirmação do item: para algum t0 ≥ 0, tem-se que P(t0) ≤ 5. Isso significa que estamos procurando um valor de t0 que faça com que a função P(t) seja menor ou igual a 5.

Como a função P(t) é senoidal com amplitude 4, sabemos que o valor máximo da função é 10 + 4 = 14 (pois a função P(t) é deslocada 10 unidades para cima) e o valor mínimo é 10 - 4 = 6. Portanto, não há nenhum valor de t0 que faça com que a função P(t) seja menor ou igual a 5.

Portanto, a resposta certa é E) ERRADO.

1 8 9 10 11