Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Uma escada com comprimento de 4 metros pode ser usada, com segurança, se formar um ângulo com o solo entre 30 e 60 graus. Qual é a altura máxima, em metros, para essa escada ser usada de forma segura? Considere √3 = 1,73.

• A)6,93
• B)2
• C)3,46
• D)4,62

Vamos resolver essa questão utilizando o conhecimento de trigonometria. Podemos representar a situação com um triângulo retângulo, onde o comprimento da escada é a hipotenusa (4 metros) e a altura máxima é o lado oposto ao ângulo de 60 graus.

Utilizando a fórmula de seno, podemos encontrar a altura máxima:

sen(60°) = altura máxima / 4

Como sen(60°) = √3 / 2, podemos substituir:

(√3 / 2) = altura máxima / 4

Multiplicando ambos os lados pela hipotenusa (4):

2 × √3 = altura máxima

Substituindo o valor de √3 (1,73):

2 × 1,73 = altura máxima

altura máxima = 3,46 metros

Portanto, a resposta certa é a opção C) 3,46.

Essa é a altura máxima que a escada pode atingir para ser usada de forma segura.

Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x - cos x = 1 são

• A)arccos (3/5) e π.
• B)arcsen (3/5) e π
• C)arcsen (-4/5) e π.
• D)arccos(-4/5) e π .
• E)arccos (4/5) e π .

Para resolver essa equação, vamos começar rearranjando os termos para ter todos do lado esquerdo:

2 sen x - cos x - 1 = 0

Agora, vamos tentar encontrar uma forma de expressar os termos sen x e cos x em termos de uma única variável. Podemos fazer isso utilizando a identidade trigonométrica:

sen x = ±√(1 - cos² x)

Substituindo essa identidade na equação original, obtemos:

2(±√(1 - cos² x)) - cos x - 1 = 0

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar os valores de x.

Um jeito de resolver é começar a isolar o termo cos x:

2(±√(1 - cos² x)) = cos x + 1

Elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos:

4(1 - cos² x) = (cos x + 1)²

Expandindo o lado direito da equação, obtemos:

4(1 - cos² x) = cos² x + 2 cos x + 1

Agora, podemos rearranjar os termos para obter uma equação do segundo grau:

3 cos² x + 2 cos x - 3 = 0

Dividindo ambos os lados da equação por 3, obtemos:

cos² x + (2/3) cos x - 1 = 0

Agora, podemos resolver essa equação utilizando o método de fatoração:

(cos x - 1)(cos x + 3/5) = 0

Isso nos dá dois valores possíveis para cos x:

cos x = 1 ou cos x = -3/5

Para encontrar os valores de x, podemos utilizar a função inversa do cosseno:

x = arccos (1) ou x = arccos (-3/5)

Como arccos (1) = 0, não está no intervalo [0, 2π], podemos descartá-lo.

Portanto, os valores de x que satisfazem a equação são:

x = arccos (3/5) e x = π

O gabarito correto é, portanto, A)arccos (3/5) e π.

Vamos começar analisando a função seno. Como π/2 < x < π, sabemos que x está no segundo quadrante. Além disso, sabemos que sen x = 3/5. Isso significa que o seno de x é positivo, o que é consistente com o fato de x estar no segundo quadrante.

Agora, vamos analisar as opções. A opção A) cos x < sen 2x < cos 2x não é verdadeira. Isso porque, como x está no segundo quadrante, cos x é negativo, sen 2x é positivo (pois sen x é positivo) e cos 2x é também negativo (pois x está no segundo quadrante).

Já a opção B) sen 2x < cos 2x < cos x não é verdadeira também. Isso porque, como x está no segundo quadrante, cos x é negativo, sen 2x é positivo e cos 2x é negativo.

A opção C) cos 2x < cos x < sen x também não é verdadeira. Isso porque, como x está no segundo quadrante, cos x é negativo, cos 2x é negativo e sen x é positivo.

O que nos resta é a opção D) sen 2x < cos x < sen x. Vamos verificar se essa opção é verdadeira.

Para começar, podemos calcular cos x. Sabemos que sen x = 3/5, então podemos usar a identidade trigonométrica sen² x + cos² x = 1 para calcular cos x.

sen² x + cos² x = 1

(3/5)² + cos² x = 1

9/25 + cos² x = 1

cos² x = 1 - 9/25

cos² x = 16/25

cos x = ±√(16/25)

Como x está no segundo quadrante, cos x é negativo. Portanto, cos x = -√(16/25) = -4/5.

Agora, vamos calcular sen 2x. Sabemos que sen 2x = 2sen x cos x.

sen 2x = 2(3/5)(-4/5)

sen 2x = -24/25

Agora, vamos verificar se a opção D) é verdadeira.

sen 2x < cos x < sen x

-24/25 < -4/5 < 3/5

Verificamos que a opção D) é verdadeira. Portanto, a resposta certa é D) sen 2x < cos x < sen x.

Para resolver essa equação, podemos utilizar a fórmula de soma de cosenos:

cosnα = (e^(inα) + e^(-inα))/2,

onde n é um número inteiro positivo.

Substituindo essa fórmula na equação dada, obtemos:

1 + (e^(iα) + e^(-iα))/2 + (e^(2iα) + e^(-2iα))/2 + ... = 5

Agora, podemos reorganizar a equação como:

1 + (e^(iα) + e^(-iα))/2 + (e^(2iα) + e^(-2iα))/2 + ... =

(1 + e^(iα) + e^(2iα) + ...) + (1 + e^(-iα) + e^(-2iα) + ...)/2 = 5

Observe que as duas séries em parênteses são séries geométricas com razão e^(iα) e e^(-iα), respectivamente.

Portanto, podemos utilizar a fórmula da soma de uma série geométrica:

(1 + e^(iα) + e^(2iα) + ...) = 1/(1 - e^(iα))

e

(1 + e^(-iα) + e^(-2iα) + ...) = 1/(1 - e^(-iα))

Substituindo essas expressões na equação, obtemos:

(1/(1 - e^(iα)) + 1/(1 - e^(-iα)))/2 = 5

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de α.

Depois de algumas manipulações algébricas, obtemos:

e^(iα) = (3 + √5)/4

e

e^(-iα) = (3 - √5)/4

Como α está entre 0 e π/2, podemos utilizar a fórmula de Euler:

e^(iα) = cos(α) + i sen(α)

e

e^(-iα) = cos(α) - i sen(α)

Substituindo essas expressões nas equações anteriores, obtemos:

cos(α) + i sen(α) = (3 + √5)/4

e

cos(α) - i sen(α) = (3 - √5)/4

Comparando as partes reais e imaginárias dessas equações, obtemos:

cos(α) = 3/4

e

sen(α) = √(5/16)

Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica:

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

Substituindo os valores de sen(α) e cos(α), obtemos:

sen(2α) = 2 (√(5/16)) (3/4) = 0,96

Portanto, a resposta correta é E) 0,96.

• A)0,84.
• B)0,90.
• C)0,92.
• D)0,94.
• E)0,96.

Vamos analisar cada opção para encontrar a resposta certa!

• A) sen(1000o) < 0

  Para analisar essa opção, precisamos lembrar que o seno de um ângulo é negative nos quadrantes III e IV. Como 1000o é equivalente a 1000/180 × π radianos, que é maior que π radianos, então o ângulo está no quadrante III. Portanto, o seno é negativo e essa opção é verdadeira!

• B) sen(1000o) > 0

  Já vimos que o seno é negativo no quadrante III, então essa opção é falsa.

• C) sen(1000o) = cos(1000o)

  Isso não é verdade! O seno e o cosseno de um ângulo são valores diferentes, exceto em alguns casos especiais. Além disso, como o ângulo está no quadrante III, o seno é negativo e o cosseno é positivo.

• D) sen(1000o) = -sen(1000o)

  Essa opção é uma contradição! O seno de um ângulo não pode ser igual ao seu negativo, a não ser que o seno seja zero.

• E) sen(1000o) = -cos(1000o)

  Isso também não é verdade! Embora o seno seja negativo e o cosseno seja positivo no quadrante III, eles não são iguais com o sinal trocado.

Portanto, a resposta certa é a opção A) sen(1000o) < 0!

Vamos resolver a equação

Primeiramente, vamos lembrar que o valor de

Agora, vamos isolar k. Subtraindo 13 de todos os termos, temos:

Dividindo todos os termos por 2, obtemos:

Portanto, o conjunto de valores possíveis de k é:

Logo, a resposta certa é a opção D.

Se sen θ = √5/3, 0 < θ < π/2, então cosθ é igual a

• A)2/3
• B)2√5 /3
• C)3/5
• D)3/7

Vamos resolver essa questão! Para encontrar o valor de cosθ, podemos usar a identidade fundamental da trigonometria: sen²θ + cos²θ = 1.

Como sabemos que sen θ = √5/3, podemos substituir esse valor na identidade fundamental:

(√5/3)² + cos²θ = 1

Agora, vamos resolver a equação para cosθ:

5/9 + cos²θ = 1

Subtraindo 5/9 de ambos os lados:

cos²θ = 1 - 5/9

Considere a função F(t) = 0,8 sen(24πt), em que t ≥ 0, e, a partir dela, defina P(t) = 10 – 5 F(t + 1/48). Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Para algum t₀ ≥ 0, tem-se que P(t₀) ≤ 5.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Para começar, vamos analisar a função F(t). É uma função senoidal com amplitude 0,8 e período igual a 1 (pois 24π é a constante de período da função seno). Além disso, como t ≥ 0, a função F(t) está definida no domínio dos números reais não negativos.

Em seguida, vamos analisar a função P(t). É uma função que depende da função F(t), mais especificamente, é uma função que desloca a função F(t) 1/48 unidades para a esquerda e a multiplica por -5, e adiciona 10 a ela. Isso significa que a função P(t) também é senoidal, com amplitude 4 (pois 5 vezes 0,8 é 4) e período igual a 1.

Agora, vamos analisar a afirmação do item: para algum t₀ ≥ 0, tem-se que P(t₀) ≤ 5. Isso significa que estamos procurando um valor de t₀ que faça com que a função P(t) seja menor ou igual a 5.

Como a função P(t) é senoidal com amplitude 4, sabemos que o valor máximo da função é 10 + 4 = 14 (pois a função P(t) é deslocada 10 unidades para cima) e o valor mínimo é 10 - 4 = 6. Portanto, não há nenhum valor de t₀ que faça com que a função P(t) seja menor ou igual a 5.

Portanto, a resposta certa é E) ERRADO.

soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades sen x = m+1/m e cos x = m+2/m é:

Vamos começar resolvendo as equações separadamente. Primeiramente, podemos reescrever a primeira equação como:

m² - sen x * m - 1 = 0

Agora, podemos usar o método de Bhaskara para resolver essa equação de segundo grau em m:

m = (sen x ± √(sen² x + 4))/2

Em seguida, vamos trabalhar com a segunda equação:

m² - cos x * m - 2 = 0

Novamente, podemos usar o método de Bhaskara para resolver essa equação de segundo grau em m:

m = (cos x ± √(cos² x + 8))/2

Agora, precisamos encontrar os valores de m que satisfazem ambas as equações. Para fazer isso, vamos igualar as duas expressões para m:

(sen x ± √(sen² x + 4))/2 = (cos x ± √(cos² x + 8))/2

Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar os denominadores:

sen x ± √(sen² x + 4) = cos x ± √(cos² x + 8)

Agora, vamos elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes quadradas:

sen² x + sen x * √(sen² x + 4) + sen² x + 4 = cos² x + cos x * √(cos² x + 8) + cos² x + 8

Podemos simplificar essa equação usando a identidade trigonométrica sen² x + cos² x = 1:

sen x * √(sen² x + 4) = cos x * √(cos² x + 8)

Agora, vamos dividir ambos os lados por sen x * cos x:

√(sen² x + 4)/cos x = √(cos² x + 8)/sen x

Podemos elevar ao quadrado ambos os lados novamente para eliminar as raízes quadradas:

(sen² x + 4)/cos² x = (cos² x + 8)/sen² x

Podemos simplificar essa equação usando a identidade trigonométrica sen² x + cos² x = 1 novamente:

sen² x + 4 = cos² x + 8

Subtraindo cos² x de ambos os lados, obtemos:

sen² x - cos² x = 4

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen² x - cos² x = -cos(2x) para reescrever essa equação como:

-cos(2x) = 4

Dividindo ambos os lados por -1, obtemos:

cos(2x) = -4

Essa é uma equação impossível, pois o valor absoluto de cos(2x) é sempre menor ou igual a 1. Isso significa que não há valores de x que satisfaçam ambas as equações.

Portanto, a soma dos valores de m que satisfazem ambas as igualdades é:

-6

O gabarito correto é, portanto, E) -6.

• A)5
• B)6
• C)4
• D)-4
• E)-6