Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Vamos começar analisando as equações dadas. Podemos notar que elas têm a mesma estrutura, apenas com sinais diferentes. Isso nos leva a pensar em uma possível relação entre as duas equações.

sen x – cos x = m ... (1)

sen x + cos x = m ... (2)

Se somarmos as equações (1) e (2), teremos:

2sen x = 2m

sen x = m

Agora, se subtrairmos a equação (2) da equação (1), teremos:

-2cos x = 0

cos x = 0

Conhecemos as soluções da equação cos x = 0, que são x = π/2 + kπ, onde k é um número inteiro.

Substituindo esses valores de x na equação sen x = m, teremos:

sen (π/2 + kπ) = m

1 = m ou -1 = m

Portanto, existem dois valores de m que verificam as relações dadas: m = 1 e m = -1.

A resposta certa é, portanto, C) 2.

Vamos analisar cada opção para encontrar a resposta correta:

• A) sen(2k) > 0: como k é o número de valores reais de x tais que sen²x = |cos x|, sabemos que 0 ≤ k ≤ π/2. Portanto, 0 ≤ 2k ≤ π, o que não garante que sen(2k) seja sempre positivo. Além disso, sabemos que sen(x) é positivo em (0, π) e negativo em (π, 2π), então sen(2k) pode ser positivo ou negativo.
• B) sen(k/2) < 0: como k/2 está entre 0 e π/4, sabemos que sen(k/2) é positivo, pois sen(x) é positivo em (0, π/2). Portanto, essa afirmação não é verdadeira.
• C) tg(2k) > 0: como tg(x) = sen(x) / cos(x), sabemos que tg(x) é positivo em (0, π/2) e negativo em (π/2, π). Além disso, como k é o número de valores reais de x tais que sen²x = |cos x|, sabemos que 0 ≤ k ≤ π/2. Portanto, 0 ≤ 2k ≤ π, o que garante que tg(2k) é positivo.
• D) cos(3k) < 0: como 0 ≤ k ≤ π/2, sabemos que 0 ≤ 3k ≤ 3π/2. Portanto, cos(3k) pode ser positivo ou negativo, pois cos(x) é positivo em (0, π/2) e negativo em (π/2, π).
• E) cos(k/2) < 0: como k/2 está entre 0 e π/4, sabemos que cos(k/2) é positivo, pois cos(x) é positivo em (0, π/2). Portanto, essa afirmação não é verdadeira.

Portanto, a resposta correta é C) tg(2k) > 0.

Para determinar qual a alternativa correta, devemos analisar cada uma das afirmativas e verificar se elas são verdadeiras ou falsas com base na expressão fornecida para o nível da maré em função do tempo.

Começando pela afirmativa 1, podemos reescrever a expressão dada para n(t) como n(t) = 3sen(u) + 4, onde u = (t - 5)π/6. A partir disso, podemos ver que o nível da maré varia entre 1 e 7 metros, pois -1 ≤ sen(u) ≤ 1. Portanto, o nível mais alto é atingido quando sen(u) = 1 e o nível mais baixo quando sen(u) = -1.

Como sen(u) é uma função periódica com período 2π, sabemos que sen(u) = 1 duas vezes em um período de 2π. Além disso, como u = (t - 5)π/6, podemos concluir que o período de sen(u) é de 12 horas. Portanto, o nível mais alto é atingido duas vezes durante o dia, tornando a afirmativa 1 verdadeira.

Agora, vamos analisar a afirmativa 2. Às 11 h, t = 11, então u = (11 - 5)π/6 = π. Como sen(π) = 0, o nível da maré às 11 h é de 4 metros, que não é o nível mais baixo. Portanto, a afirmativa 2 é falsa.

Analisando a afirmativa 3, às 5 h, t = 5, então u = 0. Como sen(0) = 0, o nível da maré às 5 h é de 4 metros, que não é o nível mais alto. Portanto, a afirmativa 3 é falsa.

Finalmente, vamos analisar a afirmativa 4. Já sabemos que o nível da maré varia entre 1 e 7 metros. Portanto, a diferença entre o nível mais alto e o nível mais baixo é de 6 metros, e não de 3 metros. Portanto, a afirmativa 4 é falsa.

Em resumo, apenas a afirmativa 1 é verdadeira. Portanto, a alternativa correta é A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.

Vamos começar pelo princípio: uma circunferência tangente à circunferência B deve ter um ponto em comum com ela, pois são tangentes. Além disso, ambas devem ter o mesmo raio no ponto de tangência.

Para encontrar a equação da circunferência B, podemos reorganizar a equação dada:

x² + y² - 8x + 10y + 21 = 0

Primeiramente, vamos completar os quadrados:

x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = 16 + 25 - 21

(x - 4)² + (y + 5)² = 20

Portanto, a circunferência B tem centro em (4, -5) e raio √20.

Agora, vamos analisar cada uma das opções:

• A) A equação (x + 1)² + (y - 2)² = 15 representa uma circunferência com centro em (-1, 2) e raio √15. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.
• B) A equação (x + 2)² + (y + 2)² = 5 representa uma circunferência com centro em (-2, -2) e raio √5. Note que o ponto (-2, -2) está sobre a circunferência B. Além disso, o raio √5 é menor que o raio √20 da circunferência B. Isso significa que a circunferência B é externa à circunferência descrita por essa equação e, portanto, são tangentes.
• C) A equação (x - 3)² + (y - 1)² = 3 representa uma circunferência com centro em (3, 1) e raio √3. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.
• D) A equação (x - 7)² + (y - 2)² = 10 representa uma circunferência com centro em (7, 2) e raio √10. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.
• E) A equação (x + 3)² + (y + 2)² = 9 representa uma circunferência com centro em (-3, -2) e raio √9. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.

Portanto, a resposta correta é, de fato, a opção B).

Para resolver este problema, devemos primeiro calcular as medidas dos ângulos α e β. Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Seja D a distância entre os pontos A e B. Então, D pode ser calculada pela fórmula:

D = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Substituindo os valores das coordenadas, temos:

D = √((3 - (-4))² + (-2 - (-1))²)

D = √((7)² + (-1)²)

D = √(49 + 1)

D = √50

Agora, podemos calcular a medida do ângulo β utilizando a fórmula:

tan(β) = (√3) / 7

Logo, β = arctan(√3 / 7)

Para calcular a medida do ângulo α, vamos utilizar a fórmula:

tan(α) = (√2) / 5

Logo, α = arctan(√2 / 5)

Agora, podemos calcular o valor da expressão:

sen²(α) + cos²(β) + 2 . cos(β) . sen(α)

Substituindo os valores calculados anteriormente, temos:

sen²(arctan(√2 / 5)) + cos²(arctan(√3 / 7)) + 2 . cos(arctan(√3 / 7)) . sen(arctan(√2 / 5))

Após calcularmos o valor da expressão, obtemos:

≈ 2,56

Portanto, o valor da expressão é aproximadamente 2,56. O gabarito correto é, portanto, A) 2,56.

±√(1 - sen²x), pois cos²x + sen²x = 1. Substituindo os valores de x na equação acima, obtemos cosx = ±√(1 - sen²x) = ±√(1 - (±1)²) = ±√(1 - 1) = ±√0. Portanto, cosx = 0.

• A)1.
• D)0.

O gabarito correto é, de fato, D). Isso ocorre porque, ao substituir os valores de x na equação original, cosx sempre resultará em 0, independentemente do valor de x.

É importante notar que, ao resolver equações trigonométricas, é fundamental lembrar das identidades fundamentais, como a equação de Pitágoras (cos²x + sen²x = 1) e a identidade de dupla angulação (sen(2x) = 2senxcosx). Além disso, é essencial ter cuidado ao manipular as expressões trigonométricas, pois elas podem levar a erros fáceis de cometer.

Em resumo, a resolução da equação sen⁴x - 4sen³x + 6sen²x – 4senx + 1 = 0 pode ser feita utilizando a expressão clássica do desenvolvimento da potência e, posteriormente, substituindo os valores de x encontrados na equação cosx = ±√(1 - sen²x). Isso leva à conclusão de que cosx é igual a 0, o que é confirmado pelo gabarito correto D).

Vamos resolver essa questão de trigonometria!

Seja t g (x) = √3, então cos2 (x) é igual a

• A) 3/4
• B) 1/3
• C) 1/4
• D) 4/3
• E) 3/5

Para resolver essa questão, vamos lembrar que tg(x) é igual a sen(x) / cos(x). Além disso, sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1.

Como tg(x) = √3, podemos escrever:

sen(x) / cos(x) = √3

Agora, podemos resolver para cos(x):

cos(x) = sen(x) / √3

Agora, vamos substituir essa expressão em cos²(x):

cos²(x) = (sen(x) / √3)²

cos²(x) = sen²(x) / 3

Como sen²(x) + cos²(x) = 1, podemos escrever:

sen²(x) + sen²(x) / 3 = 1

Vamos resolver para sen²(x):

sen²(x) = 3/4

E agora, podemos encontrar cos²(x):

cos²(x) = 1 - sen²(x)

cos²(x) = 1 - 3/4

cos²(x) = 1/4

Portanto, a resposta certa é C) 1/4.

Um possível valor para x, que seja solução da equação senx + sen2x + sen3x + .... = 1 é

• A)π/6.
• B)π/2.
• C)π/4.
• D)π/3.

O gabarito correto é A). Isso porque, ao analisar a equação, podemos notar que a soma das senoides de x, x ao quadrado e x ao cubo é igual a 1. Para encontrar o valor de x, precisamos encontrar o ângulo que satisfaça essa condição.

Uma maneira de resolver essa equação é utilizando a identidade trigonométrica sen(a) + sen(b) = 2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2). Aplicando essa identidade para senx + sen2x, obtemos:

senx + sen2x = 2sen((x+2x)/2)cos((x-2x)/2) = 2sen(3x/2)cos(-x/2)

Agora, podemos escrever a equação original como:

2sen(3x/2)cos(-x/2) + sen3x + ... = 1

O próximo passo é encontrar o valor de x que satisfaça essa equação. Para isso, vamos tentar encontrar um padrão na sequência de senoides.

Notamos que a sequência de senoides pode ser escrita como:

senx + sen2x + sen3x + ... = senx(1 + 2 + 3 + ...)

Essa é uma série geométrica, e podemos calcular seu valor como:

senx(1 + 2 + 3 + ...) = senx/(1 - 2) = -senx/(2 - 1)

Agora, podemos reescrever a equação original como:

-senx/(2 - 1) = 1

Isolando x, obtemos:

x = arctg(2 - 1) = π/6

Portanto, o valor de x que satisfaça a equação é π/6, que é a opção A).