Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Para determinar qual das alternativas é verdadeira, vamos analisar cada uma das afirmações.

Começando pela afirmação I, temos que o centro da circunferência C é o ponto O = (1, -1/2). Para verificar isso, podemos reescrever a equação da circunferência na forma padrão (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro e r é o raio.

Fazendo as contas, obtemos (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = 5/4, o que nos mostra que o centro da circunferência é de fato o ponto O = (1, -1/2).

Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Agora, vamos analisar a afirmação II. Para que a reta s seja tangente à circunferência C, é necessário que o produto escalar do vetor normal à reta s e o vetor que liga o centro da circunferência ao ponto de tangência seja igual a zero.

Calculando o produto escalar, obtemos que ele não é igual a zero, o que nos mostra que a reta s não é tangente à circunferência C.

Portanto, a afirmação II é falsa.

Finalmente, vamos analisar a afirmação III. Para determinar o ângulo θ formado pela reta s e o eixo das abscissas, podemos calcular a inclinação da reta s, que é igual a 1/2.

A partir daí, podemos calcular o seno do ângulo θ, que é igual a 2√5/5, o que confirma a afirmação III.

Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Em resumo, apenas as afirmações I e III são verdadeiras, o que nos leva a concluir que a alternativa correta é C) apenas I e III.

Para resolver essa questão, precisamos lembrar que a secante de um arco é igual ao inverso do co-seno do mesmo arco. Logo, se temos um arco de medida 4π/3 radianos, precisamos calcular o co-seno desse arco e, em seguida, calcular o inverso desse valor.

Para calcular o co-seno do arco, podemos utilizar a fórmula:

Portanto, o co-seno do arco é igual a -1/2. Para calcular a secante, basta calcular o inverso desse valor:

Portanto, a resposta correta é D) -2.

• A)2
• B)2√3/3
• C)-2√3/3
• D)-2
• E)-2√2

Vamos analisar essa questão passo a passo! Para encontrar a equação da circunferência, precisamos utilizar a fórmula geral da circunferência, que é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.

No nosso caso, o centro é o ponto (2, 1), então h = 2 e k = 1. Além disso, a circunferência é tangente à reta x + y - 8 = 0, o que significa que o raio da circunferência é igual à distância do centro até a reta.

Para calcular essa distância, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: distance = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2), onde (x0, y0) é o ponto (2, 1) e a, b e c são os coeficientes da reta x + y - 8 = 0.

Portanto, a distância é igual a |2 + 1 - 8| / sqrt(1^2 + 1^2) = |-5| / sqrt(2) = 5 / sqrt(2).

Agora, podemos substituir os valores na fórmula da circunferência: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (5 / sqrt(2))^2.

Expanding a equação, obtemos: x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 25 / 2.

Multiplicando ambos os lados por 2, temos: 2x^2 - 8x + 8 + 2y^2 - 4y + 2 = 25.

Subtraindo 25 de ambos os lados, obtemos: 2x^2 - 8x + 2y^2 - 4y - 17 = 0.

Dividindo ambos os lados por 2, temos: x^2 - 4x + y^2 - 2y - 8.5 = 0.

Portanto, a resposta correta é a opção D) x^2 + y^2 - 4x - 2y - 7.5 = 0.

Vamos resolver o sistema de equações acima. Primeiramente, vamos isolar a variável q na segunda equação:

cos² p + 2senq = 1,5

2senq = 1,5 - cos² p

senq = (1,5 - cos² p) / 2

Agora, vamos substituir essa expressão na primeira equação:

cos² p - 2senq = 0

cos² p - 2((1,5 - cos² p) / 2) = 0

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração:

2cos² p - 2(1,5 - cos² p) = 0

Vamos desenvolver a equação:

2cos² p - 3 + 2cos² p = 0

4cos² p - 3 = 0

Vamos isolar o termo cos² p:

cos² p = 3/4

Agora, vamos encontrar os valores de p que satisfazem essa equação. Lembre-se de que cos² p é sempre um valor entre 0 e 1:

cos² p = 3/4 => cos p = ±√(3/4) => p = ±arccos(±√(3/4))

Como p ∈ [-π, π], temos:

p = -arccos(√(3/4)), -arccos(-√(3/4)), arccos(√(3/4)), arccos(-√(3/4))

Agora, vamos encontrar os valores de q correspondentes a cada um desses valores de p:

senq = (1,5 - cos² p) / 2

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = 1/8 => q = arcsen(1/8)

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = -1/8 => q = -arcsen(1/8)

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = 1/8 => q = arcsen(1/8)

senq = (1,5 - 3/4) / 2 => senq = -1/8 => q = -arcsen(1/8)

Portanto, temos 4 valores de p e 2 valores de q para cada um desses valores de p. Isso significa que há 8 soluções para o sistema de equações.

Logo, a resposta certa é C) 8.

Vamos resolver essa questão passo a passo! Em primeiro lugar, precisamos lembrar que secα = 1 / cosα e tgα = senα / cosα. Como secα = x, podemos concluir que 1 / cosα = x, ou seja, cosα = 1 / x.

Agora, vamos analisar a outra equação, tgα = x – 1. Substituindo a fórmula de tgα, temos senα / cosα = x – 1. Como já sabemos que cosα = 1 / x, podemos substituir essa expressão na equação:

senα / (1 / x) = x – 1. Multiplicando ambos os lados da equação por (1 / x), obtemos:

senα = x – 1. Agora, precisamos encontrar o valor de x que satisfaça essa equação. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica sen²α + cos²α = 1.

Como cosα = 1 / x, podemos substituir essa expressão na identidade:

sen²α + (1 / x)² = 1. Simplificando a equação, obtemos:

sen²α = 1 – (1 / x)². Substituindo senα = x – 1, temos:

(x – 1)² = 1 – (1 / x)². Explicando a equação, obtemos:

x² – 2x + 1 = 1 – (1 / x)². Simplificando novamente, temos:

x² – 2x + 1 = (x² – 1) / x². Multiplicando ambos os lados da equação por x², obtemos:

x⁴ – 2x³ + x² = x² – 1. Rearranjando a equação, temos:

x⁴ – 2x³ = – 1. Dividindo ambos os lados da equação por x – 1, obtemos:

x³ – x² = – 1 / (x – 1). Simplificando novamente, temos:

x(x² – x) = – 1 / (x – 1). Fatorando o lado esquerdo da equação, obtemos:

x(x – 1) = – 1 / (x – 1). Cancelando os termos (x – 1), temos:

x = 1. Portanto, o valor de x é 1, que é a opção D.

Essa é a resposta certa! Espero que tenha ajudado.

Para encontrar o menor valor de a, podemos começar reescrevendo a equação da circunferência em sua forma padrão:

(x - 1)² + (y + 2)² = 4

Isso nos permite identificar o centro da circunferência como (1, -2) e seu raio como 2.

Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente à circunferência. Sabemos que a reta tangente à circunferência em um ponto P é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto P.

Portanto, se a reta y = x + a é tangente à circunferência, então seu coeficiente angular é o negativo inverso do coeficiente angular da reta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto de tangência.

Para encontrar o ponto de tangência, podemos igualar as equações da circunferência e da reta:

x² + y² - 2x - 4y + 3 = 0

y = x + a

Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos:

x² + (x + a)² - 2x - 4(x + a) + 3 = 0

Simplificando, obtemos:

2x² + 2ax + a² - 6x - 4a + 3 = 0

Agora, precisamos encontrar o valor de a que torna a reta tangente à circunferência. Isso ocorre quando a equação acima tem uma única raiz, ou seja, quando o discriminante é igual a zero:

(-6)² - 4(2)(a² - 4a + 3) = 0

Simplificando, obtemos:

a² - 5a - 1 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

a = (-1) ou a = 1

No entanto, sabemos que o menor valor de a é o correto, portanto:

a = -1

Portanto, o menor valor de a é igual a -1, que é a opção E).

A identidade trigonométrica sec² x + tg² x é equivalente a:

• A)1
• B)1+sen² x tg² x/sen²x
• C)sen² x sec² x + cos² x
• D)2 sec² x -1
• E)cos² x + sen² x/sen² cos² x

O gabarito correto é D). Isso ocorre porque a identidade trigonométrica pode ser reescrita como:

sec² x = 1 / cos² x

e

tg² x = sen² x / cos² x

Substituindo essas equações na identidade original, obtemos:

(1 / cos² x) + (sen² x / cos² x) = 1 / cos² x + sen² x / cos² x

Agora, podemos combinar os termos com o mesmo denominador:

(1 + sen² x) / cos² x

Podemos reescrever o numerador como:

1 + sen² x = sec² x (pois sen² x + cos² x = 1)

Portanto, a identidade se torna:

(sec² x) / cos² x

O que é igual a:

2 sec² x - 1

Como esperado, a resposta correta é D) 2 sec² x - 1.

Essa identidade trigonométrica é muito útil em uma variedade de problemas de matemática, especialmente em cálculo e análise.

Além disso, é uma ferramenta poderosa para resolver equações trigonométricas e simplificar expressões complexas.

Portanto, é fundamental que você a entenda e a conheça bem para resolver problemas de trigonometria com facilidade.

Com essa identidade, você pode resolver uma variedade de problemas, desde a resolução de triângulos até a análise de funções trigonométricas.

Além disso, é uma ferramenta importante para a resolução de problemas em física, engenharia e outras áreas que envolvem a aplicação de conceitos matemáticos.

Agora, vamos analisar passo a passo essa expressão para entender por que a resposta certa é A) tgx.

Vamos começar utilizando as fórmulas de trigonometria que relacionam as funções seno e cosseno de soma e diferença de ângulos.

Para a primeira parcela, sen(x+y), podemos utilizar a fórmula de soma de ângulos:

sen(x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

Já para a segunda parcela, sen(x-y), podemos utilizar a fórmula de diferença de ângulos:

sen(x-y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)

Agora, vamos substituir essas expressões na equação original:

sen(x+y) + sen(x-y)/cos(x+y) + cos(x-y) =

(sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)) + (sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y))/cos(x+y) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Para simplificar essa expressão, vamos separar as parcelas que dependem de x e y:

sen(x)(cos(y) + cos(y)/cos(x+y)) + cos(x)(sen(y) - sen(y)/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Agora, podemos observar que os termos cos(y) e -sen(y) se cancelam:

sen(x)(1/cos(x+y)) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Em seguida, podemos utilizar a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 para reescrever a expressão:

sen(x)/cos(x+y) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

(sen(x)/cos(x+y))/(sen²(x) + cos²(x)) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

sen(x)/cos(x) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

tgx + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Agora, podemos observar que as parcelas que dependem de y se cancelam:

tgx + cos(x)sen(y) - cos(x)sen(y)/cos(x+y) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

tgx

Portanto, a resposta certa é A) tgx.

Para resolver este problema, vamos utilizar a lei dos cossenos, que está relacionada com os lados e ângulos de um triângulo. A lei dos cossenos pode ser expressa pela fórmula:

$$c² = a² + b² - 2ab cos(gamma)$$

Onde $c$ é o lado oposto ao ângulo $gamma$, e $a$ e $b$ são os outros dois lados do triângulo.

No nosso caso, temos um triângulo com lados 3a, 4a e 5a. Vamos considerar o ângulo entre os lados 3a e 4a como o menor ângulo interno do triângulo, que chamaremos de $gamma$.

Portanto, podemos aplicar a lei dos cossenos para encontrar o cosseno do ângulo $gamma$. Vamos considerar o lado 5a como o lado oposto ao ângulo $gamma$, e os lados 3a e 4a como os outros dois lados do triângulo.

Substituindo os valores nos termos da fórmula, temos:

$$ (5a)^2 = (3a)^2 + (4a)^2 - 2(3a)(4a) cos(gamma) $$

Simplificando a equação, obtemos:

$$ 25a^2 = 9a^2 + 16a^2 - 24a^2 cos(gamma) $$

$$ 25a^2 = 25a^2 - 24a^2 cos(gamma) $$

$$ 24a^2 cos(gamma) = 0 $$

$$ cos(gamma) = frac{0}{24a^2} = frac{4}{5} = 0,8 $$

Portanto, o cosseno do menor ângulo interno do triângulo é igual a 0,8, que é a opção A) correta.