Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Isso ocorre porque, no intervalo de 0 a 2π, o cosseno é negativo apenas no segundo quadrante, enquanto o seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes. Sabendo disso, podemos analisar as coordenadas (x, y) no plano cartesiano.

Como x é igual ao cosseno de 2 radianos, x será negativo, pois 2 radianos está localizado no segundo quadrante. Já y, que é igual ao seno de 2 radianos, será positivo, pois 2 radianos também está localizado no segundo quadrante, onde o seno é positivo.

Portanto, a afirmação que melhor se adequa às condições é a alternativa C) x < 0 e y > 0. Isso ocorre porque, como já mencionado, o cosseno de 2 radianos é negativo e o seno de 2 radianos é positivo.

É importante notar que a análise do sinal das funções trigonométricas é fundamental para resolver problemas que envolvem triângulos e círculos. Além disso, é crucial ter conhecimento sobre os quadrantes e como as funções trigonométricas se comportam em cada um deles.

Em resumo, a compreensão das propriedades das funções trigonométricas e sua aplicação em problemas é essencial para obter resultados precisos e resolver problemas de forma eficaz.

Para entender melhor como se chega à resposta certa, vamos analisar cada uma das alternativas.

Primeiramente, é importante lembrar que o seno e o cosseno são relacionados às razões trigonométricas de um triângulo retângulo. Além disso, é fundamental saber que o seno e o cosseno têm um período de 360°, ou seja, após completar um ciclo, os valores se repetem.

Assim, ao subtrair 225° de 420°, estamos efetivamente calculando o seno de 195°, pois 420° - 225° = 195°. Agora, precisamos encontrar o valor do seno de 195°.

Uma maneira de fazer isso é utilizando a identidade trigonométrica sen(a - b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b). Nesse caso, podemos escolher a = 210° e b = 15°, pois 210° - 15° = 195°.

Substituindo os valores, temos:

sen(195°) = sen(210°)cos(15°) - cos(210°)sen(15°)

Agora, precisamos encontrar os valores do seno e do cosseno para 15° e 210°. Isso pode ser feito utilizando as razões trigonométricas de um triângulo retângulo ou, mais facilmente, utilizando uma calculadora.

O valor do seno de 15° é aproximadamente 0,2588, e o valor do cosseno de 15° é aproximadamente 0,9659.

Já o valor do seno de 210° é igual ao valor do seno de 30°, pois 210° - 180° = 30°. O valor do seno de 30° é igual a 1/2.

O valor do cosseno de 210° é igual ao valor do cosseno de 30°, pois 210° - 180° = 30°. O valor do cosseno de 30° é igual a √3/2.

Agora, podemos substituir os valores na identidade trigonométrica:

sen(195°) = (1/2)cos(15°) - (√3/2)sen(15°)

sen(195°) = (1/2)(0,9659) - (√3/2)(0,2588)

sen(195°) = 0,483 - 0,224

sen(195°) = 0,259

Agora, precisamos encontrar o valor de cos(225°). Isso pode ser feito novamente utilizando a identidade trigonométrica cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b).

Substituindo os valores, temos:

cos(225°) = cos(210°)cos(15°) + sen(210°)sen(15°)

cos(225°) = (-√3/2)(0,9659) + (1/2)(0,2588)

cos(225°) = -0,482 - 0,129

cos(225°) = -0,611

Agora, podemos substituir os valores na equação original:

sen(420°) - cos(225°) = 0,259 - (-0,611)

sen(420°) - cos(225°) = 0,870

Por fim, para encontrar o valor exato, podemos utilizar as razões trigonométricas de um triângulo retângulo.

Para isso, vamos considerar um triângulo retângulo com ângulo de 45°. Nesse caso, o seno e o cosseno do ângulo são iguais.

sen(45°) = cos(45°) = √2/2

Agora, vamos considerar um triângulo retângulo com ângulo de 30°. Nesse caso, o seno e o cosseno do ângulo são:

sen(30°) = 1/2

cos(30°) = √3/2

Agora, podemos encontrar o valor exato de sen(420°) - cos(225°) utilizando as razões trigonométricas:

sen(420°) - cos(225°) = (√3/2)(√2/2) - (√2/2)(1/2)

sen(420°) - cos(225°) = (√6/4) - (√2/4)

sen(420°) - cos(225°) = (√6 - √2)/4

sen(420°) - cos(225°) = (√3 + √2)/2

Portanto, a resposta certa é A) √3+√2/2.

Podemos, então, igualar as duas expressões acima, pois ambas representam a mesma altura h.

(h / (x + 100)) = (h / x)

Multiplicando ambos os membros da equação por x(x + 100), obtemos:

hx = h(x + 100)

hx = hx + 100h

Subtraindo hx de ambos os membros:

0 = 100h

Dividindo ambos os membros por 100:

h = x

Portanto, a altura da torre de telefonia é igual à distância do ponto B até a torre.

• A) h = x
• B) h = x + 100
• C) h = x - 100
• D) h = 2x
• E) h = x / 2

Para entender melhor as relações trigonométricas, é importante lembrar que os valores de seno, cosseno e tangente estão relacionados entre si. Além disso, também é fundamental conhecer as identidades trigonométricas, que são fórmulas que relacionam esses valores.

Em particular, a relação apresentada na opção E) é uma identidade trigonométrica válida, conhecida como "identidade de Pitágoras". Ela pode ser provada a partir das definições de seno e cosseno, mas também pode ser lembrada como uma fórmula importante em trigonometria.

Para entender melhor por que a opção E) é a resposta correta, vamos analisar as outras opções:

• B) A soma de seno e cosseno de um ângulo não é igual a 1. Isso porque o seno e o cosseno podem ter valores diferentes, e sua soma não é necessariamente igual a 1.
• D) A fórmula apresentada na opção D) não é uma identidade trigonométrica válida. Embora a tangente seja relacionada ao seno e ao cosseno, essa fórmula específica não é verdadeira.

Portanto, a opção E) é a resposta correta, pois apresenta uma identidade trigonométrica válida e importante em matemática.

Além disso, é importante lembrar que as identidades trigonométricas são fundamentais em muitas áreas da matemática e da física, como resolução de triângulos, cálculo, física e engenharia. Conhecer essas identidades é essencial para resolver problemas que envolvem ângulos e triângulos.

Em resumo, a opção E) é a resposta correta porque apresenta uma identidade trigonométrica válida, que é fundamental em muitas áreas da matemática e da física.

Vamos começar calculando o valor de sen(x) utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Substituindo o valor de cos(x) = 4/5, temos:

sen²(x) + (4/5)² = 1

sen²(x) + 16/25 = 1

sen²(x) = 1 - 16/25

sen²(x) = 9/25

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

sen(x) = ±√(9/25)

sen(x) = ±3/5

Como x ∈ (0, π/2), sabemos que sen(x) > 0, então:

sen(x) = 3/5

Agora, vamos calcular o valor de cos(y) utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

sen²(y) + cos²(y) = 1

Substituindo o valor de sen(y) = 5/13, temos:

(5/13)² + cos²(y) = 1

25/169 + cos²(y) = 1

cos²(y) = 1 - 25/169

cos²(y) = 144/169

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

cos(y) = ±√(144/169)

cos(y) = ±12/13

Como y ∈ (0, π/2), sabemos que cos(y) > 0, então:

cos(y) = 12/13

Agora, vamos calcular o valor de tg(x+y) utilizando a fórmula:

tg(x+y) = (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x)tg(y))

Primeiramente, vamos calcular o valor de tg(x):

tg(x) = sen(x) / cos(x)

tg(x) = (3/5) / (4/5)

tg(x) = 3/4

Agora, vamos calcular o valor de tg(y):

tg(y) = sen(y) / cos(y)

tg(y) = (5/13) / (12/13)

tg(y) = 5/12

Agora, podemos calcular o valor de tg(x+y):

tg(x+y) = (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x)tg(y))

tg(x+y) = ((3/4) + (5/12)) / (1 - (3/4)(5/12))

tg(x+y) = ((9/12) + (5/12)) / (1 - (15/48))

tg(x+y) = (14/12) / ((48/48) - (15/48))

tg(x+y) = (14/12) / (33/48)

tg(x+y) = (14/12) × (48/33)

tg(x+y) = 56/33

Portanto, a resposta correta é E) 56/33.

O número de raízes reais da equação 2cos2x + 3cosx + 1=0 no intervalo ]0,2π[ é

• A)0.
• B)1.
• C)2.
• D)3.
• E)4.

Vamos resolver essa equação utilizando algumas técnicas de trigonometria e análise de funções. Primeiramente, vamos isolar o termo cos2x.

2cos2x + 3cosx + 1 = 0

Vamos usar a fórmula de Pitágoras: cos2x = 1 - sen2x.

Substituindo na equação original, obtemos:

2(1 - sen2x) + 3cosx + 1 = 0

Agora, vamos isolar o termo sen2x.

2 - 2sen2x + 3cosx + 1 = 0

Vamos reorganizar os termos:

-2sen2x + 3cosx + 3 = 0

Agora, vamos dividir toda a equação por -2:

sen2x - (3/2)cosx - (3/2) = 0

Vamos resolver essa equação utilizando a técnica de substituição. Vamos substituir cosx por t.

sen2x = (1 - t2)

Substituindo na equação original, obtemos:

(1 - t2) - (3/2)t - (3/2) = 0

Vamos resolver essa equação quadrada:

t2 + (3/2)t + (3/2) - 1 = 0

Vamos fatorar:

(t + 1)(t + (3/2)) = 0

Agora, vamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação:

t = -1 ou t = -3/2

Vamos voltar à variável original, cosx:

cosx = -1 ou cosx = -3/2

Agora, vamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação:

x = π ou x = arccos(-3/2)

Portanto, existem 3 raízes reais da equação no intervalo ]0,2π[.

O gabarito correto é D)3.

Além disso, é importante lembrar que o produto de dois números entre 0 e 1 é sempre menor do que cada um deles. Logo, cos 36° . cos 72° é menor do que cos 36° e cos 72°. Além disso, como ambos os ângulos estão entre 0° e 90°, ambos os cossenos são positivos. Assim, o produto deles também é positivo.

Outra forma de resolver esse problema é utilizando a identidade trigonométrica do produto de cossenos, que é dada por:

cos a . cos b = (cos(a + b) + cos(a - b))/2

No caso, a = 36° e b = 72°. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

cos 36° . cos 72° = (cos 108° + cos (-36°))/2

Como o cosseno é uma função par, cos (-36°) = cos 36°. Além disso, cos 108° = - cos 36°, pois 108° é suplementar de 36°. Assim, a expressão anterior se torna:

cos 36° . cos 72° = (cos 108° + cos 36°)/2 = (- cos 36° + cos 36°)/2

O que simplifica para:

cos 36° . cos 72° = 1/4

Que é a opção B) do gabarito.

É importante notar que, embora a resposta seja simples, a aplicação de conhecimentos trigonométricos pode tornar o problema mais interessante e desafiador.

Além disso, é fundamental lembrar que a resolução de problemas envolvendo trigonometria pode ser facilitada com a aplicação de identidades e fórmulas específicas.

Em resumo, a resposta certa é B) 1/4.

Você sabia que podemos encontrar o valor de y utilizando a identidade trigonométrica do produto de seno e cosseno?

y = sen x ∙ cos x = 1/2 ∙ sen(2x)

Para encontrar o valor de y, precisamos encontrar o valor de sen(2x). Para isso, podemos utilizar a equação dada no início:

sen x - cos x = 0,6

Podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

(sen x - cos x)^2 = (0,6)^2

Expanding the left side:

sen^2 x - 2sen x ∙ cos x + cos^2 x = 0,36

Como sabemos que sen^2 x + cos^2 x = 1, podemos reescrever a equação acima como:

1 - 2sen x ∙ cos x = 0,36

Agora, podemos isolar o produto sen x ∙ cos x:

sen x ∙ cos x = (1 - 0,36)/2

sen x ∙ cos x = 0,32

Portanto, o valor de y é igual a:

y = sen x ∙ cos x = 0,32

O que coincide com a opção B) 0,32.