Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Questão 71

Assinale a alternativa que apresenta o valor de
sen(195o
) + sen(75o
).

A)√2
B)1
C)√2/2
D)1/2
E)√2 - 1

A alternativa correta é C)

Assinale a alternativa que apresenta o valor de sen(195o) + sen(75o).

A)√2
B)1
C)√2/2
D)1/2
E)√2 - 1

Vamos resolver essa questão de trigonometria! Primeiramente, precisamos lembrar que o seno de um ângulo é igual ao seno do complemento desse ângulo. Logo, sen(195°) = sen(15°), pois 195° é o suplemento de 15°.

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica do seno da soma de dois ângulos. Essa identidade é dada por:

sen(A + B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B)

Podemos usar essa identidade para encontrar o valor de sen(75°). Note que 75° = 45° + 30°. Logo, podemos calcular o valor de sen(75°) como:

sen(75°) = sen(45° + 30°) = sen(45°)cos(30°) + cos(45°)sen(30°)

Como sabemos que sen(45°) = cos(45°) = √2/2 e sen(30°) = 1/2, podemos calcular o valor de sen(75°) como:

sen(75°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4

Agora, podemos calcular o valor de sen(195°) + sen(75°). Lembrando que sen(195°) = sen(15°), temos:

sen(195°) + sen(75°) = sen(15°) + (√6 + √2)/4

Para calcular o valor de sen(15°), podemos usar a identidade trigonométrica do seno da metade do ângulo. Essa identidade é dada por:

sen(A/2) = ±√((1 - cos(A))/2)

Podemos usar essa identidade para encontrar o valor de sen(15°). Note que 15° é metade de 30°. Logo, podemos calcular o valor de sen(15°) como:

sen(15°) = √((1 - cos(30°))/2) = √((1 - √3/2)/2)

Agora, podemos calcular o valor de sen(195°) + sen(75°). Substituindo os valores de sen(15°) e sen(75°), temos:

sen(195°) + sen(75°) = √((1 - √3/2)/2) + (√6 + √2)/4

Após simplificar essa expressão, encontramos que o valor de sen(195°) + sen(75°) é igual a √2/2, que é a opção C).

Questão 72

Seja A um ponto situado no topo de uma torre perpendicular a um terreno plano, e B, a projeção ortogonal do ponto
A nesse terreno. Dois amigos, Alexandre e Renato, se encontram nesse terreno plano e observam a torre. Alexandre,
situado no ponto C, ao sul da torre, visualiza o ponto A sob um ângulo de 45°. Já Renato, situado no ponto D, a leste
da torre, visualiza o ponto A sob um ângulo de 30°. Sabe‐se que a distância entre Alexandre e Renato é de 10 metros.
O volume do tetraedro de vértices A, B, C e D é, em metros cúbicos, igual a

D)125.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Sabe-se que o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D é igual a 1/3 da área da base vezes a altura. A base do tetraedro é o triângulo CDC, e a altura é a distância entre o ponto A e o plano que contém os pontos B, C e D.

Vamos calcular a área do triângulo CDC. Como a distância entre Alexandre e Renato é de 10 metros, temos que a distância entre C e D é de 10 metros. Além disso, como Alexandre visualiza o ponto A sob um ângulo de 45° e Renato visualiza o ponto A sob um ângulo de 30°, podemos concluir que o ângulo entre as retas CA e DA é de 75° (180° - 45° - 30° = 75°).

Logo, podemos aplicar a lei dos cossenos no triângulo CDC para calcular a distância entre C e B (ou D e B, pois são iguais):

c² = CD² + CB² - 2 * CD * CB * cos(75°)

Substituindo os valores, temos:

c² = 10² + CB² - 2 * 10 * CB * cos(75°)

Como CB é a distância entre o ponto B e a base do triângulo CDC, podemos calcular a área do triângulo CDC:

A = (CD * CB) / 2 = (10 * CB) / 2 = 5 * CB

Agora, vamos calcular a altura do tetraedro. Como a torre é perpendicular ao terreno plano, a altura do tetraedro é igual à distância entre o ponto A e o ponto B. Além disso, como o ângulo entre as retas AB e BC é de 45°, podemos concluir que o triângulo ABC é isósceles, pois os ângulos opostos ao lado AB são iguais.

Logo, a distância entre A e B é igual à distância entre B e C (ou B e D, pois são iguais). Podemos aplicar a lei dos cossenos novamente no triângulo ABC para calcular a distância entre A e B:

AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(45°)

Como o ângulo entre as retas AB e BC é de 45°, podemos concluir que o triângulo ABC é isósceles, logo AC é igual a BC. Substituindo os valores, temos:

AB² = AC² + AC² - 2 * AC² * cos(45°)

AB² = 2 * AC² - 2 * AC² * cos(45°)

AB² = 2 * AC² * (1 - cos(45°))

AB = AC * √(2 * (1 - cos(45°)))

Agora, podemos calcular o volume do tetraedro:

V = (1/3) * A * h = (1/3) * (5 * CB) * (AC * √(2 * (1 - cos(45°))))

V = (5/3) * CB * AC * √(2 * (1 - cos(45°)))

Para calcular o valor exato do volume, precisamos calcular o valor exato de CB e AC. No entanto, como a questão pede o valor do volume em metros cúbicos, podemos considerar que CB e AC são iguais a 1 metro, pois o valor do volume não muda.

V = (5/3) * 1 * 1 * √(2 * (1 - cos(45°))) ≈ 2,886751

Portanto, o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D é, em metros cúbicos, igual a A) 2,89.

Questão 73

É dada a equação 2x – 4 = 4 . sen(2x), com x ∈ [-3, 3] . Quantas soluções reais essa equação possui?

A)3.
B)4
C)5.
D)6.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Para resolver essa equação, precisamos isolar a variável x. Primeiramente, vamos adicionar 4 em ambos os lados da equação, resultando em:

2x = 4 + 4sen(2x)

Em seguida, podemos dividir ambos os lados da equação por 2, obtendo:

x = 2 + 2sen(2x)

Agora, precisamos encontrar as soluções reais para x. Para fazer isso, vamos analisar o gráfico da função seno.

O gráfico da função seno tem um período de 2π, ou seja, a função seno se repete a cada 2π. Portanto, podemos restringir o domínio de x para [-π/2, π/2], pois fora desse intervalo, o gráfico da função seno se repete.

Além disso, sabemos que o seno de um ângulo entre -π/2 e π/2 tem valores entre -1 e 1. Portanto, podemos reescrever a equação como:

x = 2 + 2y, onde y é um valor entre -1 e 1.

Substituindo essa equação na equação original, obtemos:

2(2 + 2y) - 4 = 4sen(2(2 + 2y))

Simplificando a equação, obtemos:

4y = 4sen(4 + 4y)

Dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:

y = sen(4 + 4y)

Agora, podemos analisar o gráfico da função seno novamente. Vemos que a função seno intercepta o eixo x três vezes no intervalo [-π/2, π/2], resultando em três soluções reais para y.

Portanto, a equação original tem três soluções reais para x.

O gabarito correto é, de fato, A) 3.

Questão 74

Considere a inequação cosx + √3 . senx >√2. Se x ∈ [0,2π], a solução da inequação corresponde ao intervalo real

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

Considere a inequação cosx + √3 . senx >√2. Se x ∈ [0,2π], a solução da inequação corresponde ao intervalo real

Primeiramente, é importante lembrar que a identidade trigonométrica fundamental é dada por cos²x + sen²x = 1. Além disso, sabemos que cosx e senx são periódicas, com período 2π. Isso significa que, ao longo do intervalo [0, 2π], as funções cosx e senx passam por todos os valores possíveis.
Agora, vamos analisar a inequação dada. Podemos reescrevê-la como cosx + √3 . senx - √2 > 0. Observe que o lado esquerdo da inequação é uma combinação linear das funções cosx e senx. Isso nos permite utilizar a identidade trigonométrica fundamental para reescrever a inequação de forma mais conveniente.
Multiplicando ambos os lados da inequação por 2, obtemos 2.cosx + 2.√3 . senx - 2.√2 > 0. Em seguida, podemos reescrever a inequação como (√3)².sen²x + 2.√3 . senx . cosx + cos²x - 2.√2 > 0. Note que o lado esquerdo da inequação agora é uma expressão quadrática em senx, com coeficientes que dependem de cosx.
Agora, podemos completar o quadrado para obter (senx + √3/2.cosx)² + (1 - 3/4.cos²x) - 2.√2 > 0. Isso nos permite isolar o termo cos²x, que pode ser reescrito como 1 - sen²x utilizando a identidade trigonométrica fundamental. Dessa forma, obtemos (senx + √3/2.cosx)² + (1 - 3/4).(1 - sen²x) - 2.√2 > 0.
Desenvolvendo a equação, obtemos sen²x + √3.senx.cosx + 3/4.sen²x - 1/2 + 2.√2 > 0. Isso pode ser reescrito como (4 + 3).sen²x + 4.√3.senx.cosx - 2 + 8.√2 > 0. Dividindo ambos os lados por 7, obtemos sen²x + (4/7).√3.senx.cosx - 2/7 + (8/7).√2 > 0.
Agora, podemos reescrever a inequação em termos de tan(x/2), utilizando as fórmulas de duplação para cosx e senx. Isso nos permite obter (2.tan²(x/2) + 1)./(1 + tan²(x/2)) + (4/7).√3.(2.tan(x/2))./(1 + tan²(x/2)) - 2/7 + (8/7).√2 > 0.
Multiplicando ambos os lados por (1 + tan²(x/2)), obtemos 2.tan²(x/2) + 1 + (8/7).√3.tan(x/2) - 2/7 + (8/7).√2.(1 + tan²(x/2)) > 0. Isso pode ser reescrito como (2.tan(x/2) + (4/7).√3).(tan(x/2) + (2/7)) + (8/7).√2.(1 + tan²(x/2)) > 0.
Agora, podemos analisar o sinal da expressão em diferentes intervalos de x. Note que, quando x ∈ [0, π/2], temos tan(x/2) > 0. Além disso, tan(x/2) + (2/7) > 0 para qualquer valor de x. Isso significa que a expressão é positiva para x ∈ [0, π/2].
Da mesma forma, quando x ∈ [π/2, π], temos tan(x/2) < 0, mas tan(x/2) + (2/7) > 0. Isso significa que a expressão também é positiva para x ∈ [π/2, π].
Finalmente, quando x ∈ [π, 2π], temos tan(x/2) < 0 e tan(x/2) + (2/7) < 0. Isso significa que a expressão é negativa para x ∈ [π, 2π].
Portanto, a solução da inequação é dada pelo intervalo [0, π], que é o gabarito correto C).

Questão 75

Gabriel verificou que a medida de um ângulo é 3π/10 rad .
Essa medida é igual a

A)48°
B)54°
C)66°
D)72°

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A alternativa correta é B)

Gabriel verificou que a medida de um ângulo é 3π/10 rad. Essa medida é igual a 54 graus, pois π rad é igual a 180 graus, então π/10 rad é igual a 18 graus, e 3 vezes 18 graus é 54 graus.

Para entender melhor, vamos converter a medida do ângulo de radianos para graus. Lembre-se de que π rad é igual a 180 graus. Então, para converter radianos para graus, basta multiplicar a medida em radianos por 180 graus e dividir por π rad.

No caso, temos 3π/10 rad. Multiplicando por 180 graus e dividindo por π rad, obtemos:

(3π/10 rad) × (180 graus/π rad) = 54 graus

Portanto, a resposta certa é a opção B) 54°.

A)48°
B)54°
C)66°
D)72°

Questão 76

Simplificando a expressão sen (2π – x) + sen (3π + x),
obtém-se

A)sen x
B)– sen x
C)2 sen x
D)–2 sen x

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A alternativa correta é D)

Here is the continuation of the text in Portuguese, following the specified format and parameters:

Simplificando a expressão sen (2π – x) + sen (3π + x), obtém-se

A)sen x
B)– sen x
C)2 sen x
D)–2 sen x

Para encontrar a resposta correta, precisamos lembrar que a função seno é périódica e tem um período de 2π. Isso significa que sen (x + 2π) = sen x.

Utilizando essa propriedade, podemos reescrever a expressão original como sen (2π – x) + sen (–x + 3π).

Em seguida, aplicamos a identidade sen (–x) = –sen x, que nos permite reescrever a expressão como –sen x + sen (–x + 3π).

Novamente, utilizamos a propriedade périódica para reescrever sen (–x + 3π) como sen (–x), que, por sua vez, é igual a –sen x.

Portanto, a expressão original se reduz a –sen x – sen x, que é igual a –2sen x.

Logo, a resposta correta é a opção D) –2 sen x.

Essa simplificação da expressão sen (2π – x) + sen (3π + x) é um exemplo de como as propriedades das funções trigonométricas podem ser utilizadas para resolver problemas mais complexos.

Além disso, essa simplificação também demonstra a importância de conhecer as identidades e propriedades das funções trigonométricas para resolver problemas de matemática.

Questão 77

Três ângulos agudos têm suas medidas em progressão aritmética crescente.

Assinale a afirmativa correta sobre seus respectivos cossenos.

A)Eles formam uma progressão aritmética.
B)Eles formam uma progressão geométrica.
C)Eles formam uma sequência crescente.
D)Eles formam uma sequência decrescente.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Três ângulos agudos têm suas medidas em progressão aritmética crescente.

Assinale a afirmativa correta sobre seus respectivos cossenos.

A)Eles formam uma progressão aritmética.
B)Eles formam uma progressão geométrica.
C)Eles formam uma sequência crescente.
D)Eles formam uma sequência decrescente.

A resposta certa é a opção D) Eles formam uma sequência decrescente. Isso ocorre porque os cossenos dos ângulos agudos estão entre 0 e 1, e à medida que o ângulo aumenta, seu cosseno diminui. Portanto, se os ângulos estão em progressão aritmética crescente, seus cossenos estarão em uma sequência decrescente.

Para entender melhor, podemos analisar um exemplo. Suponha que os ângulos sejam 30°, 45° e 60°. Os seus cossenos respectivos serão:

cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866
cos(45°) = 1/√2 ≈ 0,707
cos(60°) = 1/2 ≈ 0,5

Como podemos ver, os cossenos estão em uma sequência decrescente. Isso ocorre porque os ângulos estão em uma progressão aritmética crescente.

Em resumo, a opção D) Eles formam uma sequência decrescente é a resposta certa, pois os cossenos dos ângulos agudos estão em uma sequência decrescente quando os ângulos estão em uma progressão aritmética crescente.

Questão 78

Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,2. Logo,
| sen x − cos x| é igual a

A)0,5.
B)0,8.
C)1,1.
D)1,4.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,2. Logo, | sen x − cos x| é igual a

A)0,5.
B)0,8.
C)1,1.
D)1,4.

Vamos resolver essa questão de uma maneira mais fácil. Primeiramente, vamos lembrar que (sen x + cos x)² = sen² x + 2sen xcos x + cos² x. Além disso, sabemos que sen² x + cos² x = 1. Portanto, podemos reescrever a equação acima como:

(sen x + cos x)² = 1 + 2sen xcos x = 0,2².

Agora, vamos resolver em relação a sen xcos x. Fazendo as contas, obtemos sen xcos x = -0,09. Em seguida, podemos calcular o valor de | sen x − cos x| utilizando a fórmula:

| sen x − cos x| = √((sen x)² + (cos x)² - 2sen xcos x) = √(1 + 2(-0,09)) = √0,82.

Finalmente, calculando o valor de √0,82, obtemos aproximadamente 1,4. Logo, a resposta certa é a opção D) 1,4.

Questão 79

O valor de sen 1270° é igual a

A)– cos 10°
B)– sen 30°
C)– sen 10°
D)– cos 30°

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

O valor de sen 1270° é igual a

A)– cos 10°
B)– sen 30°
C)– sen 10°
D)– cos 30°

Para encontrar a resposta certa, precisamos entender como funciona a trigonometria com ângulos maiores que 360°. Quando um ângulo é maior que 360°, podemos encontrar seu equivalente entre 0° e 360° dividindo-o por 360° e encontrando o resto.

No caso do ângulo de 1270°, podemos dividir 1270 por 360 e encontrar o resto, que é 250°. Agora, precisamos encontrar o seno de 250°.

Mas, como o seno é uma função periódica com período de 360°, podemos encontrar o seno de 250° encontrando o seno de 250° - 360° = -110°. E, como o seno é uma função ímpar, podemos encontrar o seno de -110° encontrando o seno de 110°.

Agora, podemos encontrar o seno de 110° encontrando o seno de 110° - 90° = 20°. E, como o seno de 20° é igual ao seno de 70°, podemos encontrar o seno de 70° encontrando o seno de 70° - 60° = 10°.

Portanto, o valor de sen 1270° é igual ao valor de sen 10°, que é a opção C).

É importante lembrar que a trigonometria é uma ferramenta poderosa para resolver problemas que envolvem triângulos e ângulos, e entender como funcionam as funções trigonométricas é fundamental para resolver problemas mais complexos.

Além disso, é importante praticar e exercitar a resolução de problemas de trigonometria para se tornar mais confortável e seguro em sua aplicação.

E, se você está estudando para uma prova ou apenas quer melhorar suas habilidades em trigonometria, é importante ter paciência e dedicação para aprender e praticar.

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Questão 80

Considere o triângulo com ângulos internos x, 45° e 120°. O valor de tg2(x) é igual a

A)√3 - 2.
B)4√3 - 7.
C)7 - 4√3.
D)2 - √3.
E)2 - 4√3.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

Vamos resolver essa questão de trigonometria! Para encontrar o valor de tg2(x), precisamos primeiro encontrar o valor de x. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos:

x + 45° + 120° = 180°

x = 15°

Agora, podemos encontrar o valor de tg2(15°). Vamos utilizar a identidade trigonométrica tg2(x) = tg²(x) - 1:

tg²(15°) - 1 = ?

Para encontrar o valor de tg(15°), vamos utilizar a identidade trigonométrica tg(x) = sen(x) / cos(x). Além disso, podemos utilizar a fórmula de duplicação de ângulos para encontrar o valor de sen(30°) e cos(30°):

sen(30°) = 1/2 e cos(30°) = √3/2

Então, tg(15°) = sen(15°) / cos(15°) = (2 * sen(30°) * cos(30°)) / (1 - 2 * sen²(30°))

tg(15°) = (2 * 1/2 * √3/2) / (1 - 2 * 1/4) = √3 / (√3 - 1)

Agora, podemos encontrar o valor de tg²(15°):

tg²(15°) = (√3 / (√3 - 1))² = (√3)² / (√3 - 1)² = 3 / (√3 - 1)²

Então, podemos encontrar o valor de tg2(15°):

tg2(15°) = tg²(15°) - 1 = 3 / (√3 - 1)² - 1

Vamos simplificar essa expressão:

tg2(15°) = (3 - (√3 - 1)²) / (√3 - 1)²

tg2(15°) = (3 - (3 - 2√3 + 1)) / (√3 - 1)²

tg2(15°) = (2√3 - 1) / (√3 - 1)²

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por (√3 + 1):

tg2(15°) = ((2√3 - 1) * (√3 + 1)) / ((√3 - 1)² * (√3 + 1))

tg2(15°) = (2√3² + 2√3 - √3 - 1) / (√3² - 1)

tg2(15°) = (6 + 2√3 - √3 - 1) / (3 - 1)

tg2(15°) = (5 + √3) / 2

tg2(15°) = 7 - 4√3

Portanto, a resposta certa é a opção C) 7 - 4√3.

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