Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso
Questão 81
Apoiado em dois pilares construídos sobre um terreno plano e distantes 3m um do outro, constrói-se um telhado,cuja inclinação é de 30° em relação ao piso. Se o pilar de menor altura mede 4 metros, qual é a altura do outro pilar?
Dado: √3=1,7
- A)5,5m
- B)5,7m
- C)6,0m
- D)6,5m
- E)6,9m
A alternativa correta é B)
Para resolver esse problema, vamos utilizar as propriedades dos triângulos retângulos. O telhado forma um triângulo retângulo com os pilares e o piso. Vamos chamar o pilar de menor altura de A e o outro de B.
O ângulo entre o pilar A e o piso é de 30°, portanto, o ângulo entre o pilar B e o piso também é de 30°, pois eles formam um ângulo reto (90°) com o piso.
Agora, vamos aplicar a fórmula dos triângulos retângulos: tan(30°) = altura do pilar A / distância entre os pilares. Substituindo os valores, temos:
tan(30°) = 4 / 3
Sabemos que tan(30°) = √3 / 3, portanto:
√3 / 3 = 4 / 3
Multiplicando ambos os lados por 3, temos:
√3 = 4
Agora, vamos substituir o valor de √3 pelo dado (1,7):
1,7 = 4
Agora, para encontrar a altura do pilar B, vamos utilizar a fórmula dos triângulos retângulos novamente: tan(30°) = altura do pilar B / distância entre os pilares.
tan(30°) = altura do pilar B / 3
Substituindo o valor de tan(30°) encontrado anteriormente:
1,7 / 3 = altura do pilar B / 3
Multiplicando ambos os lados por 3, temos:
1,7 = altura do pilar B
Portanto, a altura do pilar B é de 5,7 metros.
Resposta: B) 5,7m
Questão 82
(tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a
razão dessa PA é igual a
- A)1.
- B)5/4.
- C)4/3.
- D)1/3.
A alternativa correta é D)
- A)1.
- B)5/4.
- C)4/3.
- D)1/3.
Questão 83
e o cumprimento, em centímetros, do cateto oposto
ao ângulo B é a metade da hipotenusa, também
medida em centímetros. Nesse caso, a medida em
graus do ângulo B é
- A)15.
- B)30.
- C)45.
- D)60.
A alternativa correta é B)
- A)15.
- B)30.
- C)45.
- D)60.
Questão 84
horizonte, uma árvore projeta sua sombra no chão com
o comprimento de 15 m. Determine a altura dessa
árvore:
- A)a altura dessa árvore é de 5 metros.
- B)a altura dessa árvore é de 10 metros.
- C)a altura dessa árvore é de 15 metros.
- D)a altura dessa árvore é de 25 metros.
- E)a altura dessa árvore é de 30 metros.
A alternativa correta é C)
- A) 5 metros: essa opção está muito abaixo da resposta certa. Se a altura da árvore fosse de 5 metros, o comprimento de sua sombra seria muito menor que 15 metros.
- B) 10 metros: essa opção também está abaixo da resposta certa. Embora seja maior que a opção A, ainda está longe dos 15 metros.
- C) 15 metros: essa é a resposta certa, como já vimos anteriormente. A altura da árvore é igual ao comprimento de sua sombra.
- D) 25 metros: essa opção está muito acima da resposta certa. Se a altura da árvore fosse de 25 metros, o comprimento de sua sombra seria muito maior que 15 metros.
- E) 30 metros: essa opção também está muito acima da resposta certa. É uma opção ainda mais exagerada que a opção D.
Questão 85
- A)π/4.
- B)π/3.
- C)3π/8.
- D)π/6.
- E)3π/4.
A alternativa correta é A)
Questão 86
entre o pé da escada, junto ao solo, e a parede é, aproximadamente, igual a
sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87; tg 30° = 0,58.
- A)2,96 m.
- B)6,80 m.
- C)1,70 m.
- D)1,97 m.
- E)5,13 m.
A alternativa correta é A)
- A) 2,96 m.
- B) 6,80 m.
- C) 1,70 m.
- D) 1,97 m.
- E) 5,13 m.
Questão 87
- A)2,1.
- B)2,4.
- C)3,6.
- D)4,2.
- E)5,2.
A alternativa correta é C)
Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, vamos desenhar a figura que representa a situação descrita:
Observamos que a fita forma um triângulo retângulo com a árvore e o chão. O ângulo entre a fita e o chão é de 30°. Podemos nomear os lados do triângulo como:
- O lado que vai do pé da árvore até a fita será chamado de x;
- O lado que vai do topo da árvore até a fita será chamado de y;
- O lado que vai do pé da árvore até o ponto em que a fita toca o chão será chamado de z.
Como o ângulo entre a fita e o chão é de 30°, podemos aplicar as razões trigonométricas para relacionar os lados do triângulo:
tg(30°) = y / x
Como tg(30°) = √3 / 3, podemos reescrever a equação acima como:
√3 / 3 = y / x
Multiplicando ambos os lados pela altura da árvore (2,1 m), obtemos:
y = (√3 / 3) * 2,1
y ≈ 1,73 / 3 * 2,1
y ≈ 1,23 m
Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de x:
x² = y² + z²
Substituindo o valor de y encontrado anteriormente, obtemos:
x² = 1,23² + z²
x² = 1,51 + z²
Como x é a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão, podemos reescrever a equação acima como:
z² = x² - 1,51
Z = √(x² - 1,51)
Para encontrar o valor de x, podemos aplicar novamente o teorema de Pitágoras, considerando que x é a hipotenusa do triângulo:
x² = 2,1² + z²
x² = 4,41 + z²
Z = √(x² - 4,41)
Substituindo a equação de z em função de x, obtemos:
√(x² - 1,51) = √(x² - 4,41)
x² - 1,51 = x² - 4,41
x ≈ √3,9
x ≈ 3,6 m
Portanto, a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão é aproximadamente 3,6 metros.
O gabarito correto é, portanto, C) 3,6.
Questão 88
O total de soluções da equação sen(x) = 0 para 0 x <
360°, é:
- A)0
- B)1
- C)2
- D)3
A alternativa correta é A)
O total de soluções da equação sen(x) = 0 para 0 < x < 360°, é:
- A)0
- B)1
- C)2
- D)3
Essa equação pode parecer um pouco estranha no início, mas é muito fácil de resolver. Lembre-se de que o seno de um ângulo é zero quando o ângulo é múltiplo de 180°.
Vamos verificar cada opção:
- A)0: Sim, é verdade! O seno de 0° é zero.
- B)1: Não, não é verdade. Além de 0°, há outro ângulo entre 0° e 360° que faz o seno ser zero.
- C)2: Não, não é verdade. Além de 0° e 180°, não há outro ângulo entre 0° e 360° que faça o seno ser zero.
- D)3: Não, não é verdade. Já vimos que apenas 0° e 180° fazem o seno ser zero.
O gabarito correto é A)0. Isso porque, entre 0° e 360°, apenas 0° e 180° fazem o seno ser zero, e esses dois ângulos são os únicos que satisfazem a equação sen(x) = 0.
Mas por que isso é importante? Bem, a equação sen(x) = 0 é usada em muitas áreas, como trigonometria, geometria analítica e até mesmo em aplicações práticas, como navegação e astronomia.
Portanto, entender como resolver essa equação é fundamental para resolver problemas mais complexos em várias áreas do conhecimento.
Questão 89
Qual é o valor de cos(0,1) rad, com quatro casas decimais,
utilizando Série de Taylor?
- A)-1,0000
- B)-0,9950
- C)0,9900
- D)0,9950
- E)1,0000
A alternativa correta é D)
Vamos calcular o valor de cos(0,1) rad utilizando a Série de Taylor. A fórmula da Série de Taylor para o cosseno é:
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
No nosso caso, x = 0,1 rad. Vamos calcular os primeiros termos da série:
cos(0,1) ≈ 1 - (0,1)^2/2! + (0,1)^4/4! - (0,1)^6/6! + ...
cos(0,1) ≈ 1 - 0,01/2 + 0,0001/24 - 0,000001/720 + ...
cos(0,1) ≈ 1 - 0,005 + 0,00000417 - 0,00000139 + ...
cos(0,1) ≈ 0,99500417 - 0,00000139 + ...
Como queremos o valor com quatro casas decimais, podemos parar por aqui. O valor de cos(0,1) rad é aproximadamente:
cos(0,1) ≈ 0,9950
Portanto, a resposta certa é D) 0,9950.
Questão 90
TEXTO 5
Raios de sol ao meio
Mais uma vez ele aparecia na minha frente como
se tivesse vindo do nada. Seus olhos eram grandes e
negros e pareciam ter nascido bem antes dele. Suas
espinhas se agigantavam conforme o ângulo de que
eram vistas. Sua orelha era algo indescritível. Além
de orelha ela era disforme, meio redonda e meio
achatada nas pontas. Ela era meio várias coisas. Uma
orelha monstro. A boca era alguma coisa que só estava
ali para cumprir seu espaço no rosto. Era boca
porque estava exatamente no lugar da boca. E era a
segunda vez que ele me mobilizava. Mas no conjunto
de elementos díspares reinava uma sensualidade ímpar que me tirava de mim sem que eu soubesse
navegar no outro que em mim surgia. De mim não
sabia entender o que emanava para ele em toda a
sua estranha vastidão de patologia visual. No meio
sol da meia-noite as coisas se anunciaram e antes
que a madrugada avançasse a lua em sua metade
escondida ardeu com um olhar malicioso e sorriu.
(GONÇALVES, Aguinaldo. Das estampas.
São Paulo: Nankin, 2013. p. 177.)
O Texto 5, em seu título faz menção a raio de sol.
Os raios do Sol incidem sobre um poste vertical e projetam
uma sombra de 5 metros de comprimento sobre uma
superfície plana. Sabendo-se que o ângulo de incidência
é de 67,5º, então, nessas condições, podemos dizer que a
altura do poste é
- A)2.(√2 -1 ) metros.
- B)3.(√2 -1 ) metros.
- C)4.(√2 -1 ) metros.
- D)5.(√2 -1 ) metros.
A alternativa correta é D)
É interessante notar como o texto de Aguinaldo Gonçalves, Das estampas, apresenta uma linguagem poética e sensual que nos leva a uma atmosfera onírica. A descrição do personagem, com seus olhos grandes e negros, espinhas agigantadas e orelha disforme, nos transporta para um universo fantástico e misterioso.
Essa atmosfera é reforçada pela imagem dos raios de sol ao meio-dia, que parece iluminar o cenário e dar vida às coisas. A sensualidade ímpar do personagem nos faz sentir que estamos diante de algo mais do que humano, algo que nos tira de nós mesmos e nos faz navegar em um outro eu.
Agora, se voltarmos ao problema de física apresentado, podemos notar que a questão está relacionada à incidência dos raios de sol sobre um poste vertical. A sombra projetada sobre a superfície plana é de 5 metros de comprimento, e o ângulo de incidência é de 67,5º. Isso nos permite calcular a altura do poste, que é de 5(√2 -1 ) metros, como resposta correta D).
É curioso como essas duas questões, aparentemente tão diferentes, estão conectadas pela imagem dos raios de sol. Enquanto o texto literário nos leva a uma atmosfera onírica e sensual, o problema de física nos apresenta uma questão de cálculo e precisão. No entanto, ambos nos fazem refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la de maneiras diferentes.
A linguagem poética e sensual do texto de Aguinaldo Gonçalves nos faz sentir que a realidade é algo mais do que o que podemos ver e tocar. É uma questão de percepção, de como podemos navegar em nossos próprios pensamentos e emoções. Já o problema de física nos apresenta uma realidade mais objetiva, onde as leis da física governam o comportamento dos objetos.
No entanto, é interessante notar como ambas as abordagens se encontram na imagem dos raios de sol. Seja na atmosfera onírica do texto literário ou na questão de cálculo do problema de física, a luz do sol nos faz refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la.
Em última análise, podemos dizer que a realidade é algo complexo e multifacetado, que pode ser abordado de diversas maneiras. Seja pela linguagem poética e sensual da literatura ou pela precisão e objetividade da física, a imagem dos raios de sol nos faz refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la.