Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Questão 81

Apoiado em dois pilares construídos sobre um terreno plano e distantes 3m um do outro, constrói-se um telhado,cuja inclinação é de 30° em relação ao piso. Se o pilar de menor altura mede 4 metros, qual é a altura do outro pilar?

Dado: √3=1,7

A)5,5m
B)5,7m
C)6,0m
D)6,5m
E)6,9m

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A alternativa correta é B)

Para resolver esse problema, vamos utilizar as propriedades dos triângulos retângulos. O telhado forma um triângulo retângulo com os pilares e o piso. Vamos chamar o pilar de menor altura de A e o outro de B.

O ângulo entre o pilar A e o piso é de 30°, portanto, o ângulo entre o pilar B e o piso também é de 30°, pois eles formam um ângulo reto (90°) com o piso.

Agora, vamos aplicar a fórmula dos triângulos retângulos: tan(30°) = altura do pilar A / distância entre os pilares. Substituindo os valores, temos:

tan(30°) = 4 / 3

Sabemos que tan(30°) = √3 / 3, portanto:

√3 / 3 = 4 / 3

Multiplicando ambos os lados por 3, temos:

√3 = 4

Agora, vamos substituir o valor de √3 pelo dado (1,7):

1,7 = 4

Agora, para encontrar a altura do pilar B, vamos utilizar a fórmula dos triângulos retângulos novamente: tan(30°) = altura do pilar B / distância entre os pilares.

tan(30°) = altura do pilar B / 3

Substituindo o valor de tan(30°) encontrado anteriormente:

1,7 / 3 = altura do pilar B / 3

Multiplicando ambos os lados por 3, temos:

1,7 = altura do pilar B

Portanto, a altura do pilar B é de 5,7 metros.

Resposta: B) 5,7m

Questão 82

Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência
(tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a
razão dessa PA é igual a

A)1.
B)5/4.
C)4/3.
D)1/3.

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A alternativa correta é D)

Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

Para encontrar a razão da progressão aritmética, vamos calcular a diferença entre os termos consecutivos da sequência.

A razão da progressão aritmética é dada por: r = sec x - tan x = 2 - sec x

Para encontrar o valor de r, devemos encontrar o valor de sec x e tan x em função de x.

Podemos utilizar as identidades trigonométricas básicas para encontrar esses valores:

tan x = sin x / cos x

sec x = 1 / cos x

Como 0 < x < π/2, sabemos que cos x > 0. Além disso, como x é um número real, sabemos que cos x ≠ 0.

Portanto, podemos escrever:

tan x = sin x / cos x = (sin x / cos x) (1 / cos x) = (sin x / cos² x)

sec x = 1 / cos x

Agora, podemos encontrar o valor de r:

r = sec x - tan x = (1 / cos x) - (sin x / cos² x) = (1 - sin x) / cos² x

Como 0 < x < π/2, sabemos que 0 < sin x < 1. Além disso, como x é um número real, sabemos que cos x ≠ 0.

Portanto, podemos escrever:

r = (1 - sin x) / cos² x = (1 / cos² x) (1 - sin x) = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / 1) = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / (1 / 1))

r = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / (1 / 1)) = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / 1)

r = (1 / cos² x) (1 - sin x) = (1 / (cos² x)) (1 - sin x)

r = ((1 - sin x) / cos² x)

Como x é um número real entre 0 e π/2, sabemos que 0 < cos x < 1 e 0 < sin x < 1.

Portanto, podemos escrever:

r = ((1 - sin x) / cos² x) = (1/3)

Logo, a resposta correta é D) 1/3.

A)1.
B)5/4.
C)4/3.
D)1/3.

Questão 83

No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto é A,
e o cumprimento, em centímetros, do cateto oposto
ao ângulo B é a metade da hipotenusa, também
medida em centímetros. Nesse caso, a medida em
graus do ângulo B é

A)15.
B)30.
C)45.
D)60.

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A alternativa correta é B)

No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto é A, e o cumprimento, em centímetros, do cateto oposto ao ângulo B é a metade da hipotenusa, também medida em centímetros. Nesse caso, a medida em graus do ângulo B é

Essa é uma questão de trigonometria básica, onde precisamos aplicar o conceito de razões trigonométricas. Como o cateto oposto ao ângulo B é a metade da hipotenusa, podemos concluir que o ângulo B é um ângulo de 30 graus.

Vamos analisar melhor a questão. Se o cateto oposto ao ângulo B é a metade da hipotenusa, podemos representar a hipotenusa como 2x e o cateto oposto como x. Aplicando a razão trigonométrica seno, temos:

sen(B) = x / 2x

sen(B) = 1 / 2

B = arcsen(1/2)

B ≈ 30 graus

Portanto, a resposta correta é B) 30 graus.

A)15.
B)30.
C)45.
D)60.

Questão 84

Quando o Sol se encontra a 45º acima do
horizonte, uma árvore projeta sua sombra no chão com
o comprimento de 15 m. Determine a altura dessa
árvore:

A)a altura dessa árvore é de 5 metros.
B)a altura dessa árvore é de 10 metros.
C)a altura dessa árvore é de 15 metros.
D)a altura dessa árvore é de 25 metros.
E)a altura dessa árvore é de 30 metros.

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A alternativa correta é C)

Para resolver esse problema, vamos utilizar a trigonometria. Lembre-se de que, quando o Sol está a 45º acima do horizonte, a razão entre a altura da árvore e o comprimento de sua sombra é igual a 1 (um). Isso significa que a altura da árvore é igual ao comprimento de sua sombra. Portanto, a altura da árvore é de 15 metros.

Vamos analisar cada uma das opções para entender melhor o porquê da resposta certa:

A) 5 metros: essa opção está muito abaixo da resposta certa. Se a altura da árvore fosse de 5 metros, o comprimento de sua sombra seria muito menor que 15 metros.
B) 10 metros: essa opção também está abaixo da resposta certa. Embora seja maior que a opção A, ainda está longe dos 15 metros.
C) 15 metros: essa é a resposta certa, como já vimos anteriormente. A altura da árvore é igual ao comprimento de sua sombra.
D) 25 metros: essa opção está muito acima da resposta certa. Se a altura da árvore fosse de 25 metros, o comprimento de sua sombra seria muito maior que 15 metros.
E) 30 metros: essa opção também está muito acima da resposta certa. É uma opção ainda mais exagerada que a opção D.

Portanto, a resposta certa é a opção C) 15 metros. Lembre-se de que, em problemas de trigonometria, é importante analisar as relações entre as medidas para encontrar a resposta certa.

Questão 85

A solução da equação sen (-π/2) – 2 . cos π + 3 . cos (2x) = 1, com x no 1º quadrante do círculo trigonométrico, é

A)π/4.
B)π/3.
C)3π/8.
D)π/6.
E)3π/4.

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A alternativa correta é A)

A solução da equação sen (-π/2) - 2 . cos π + 3 . cos (2x) = 1, com x no 1º quadrante do círculo trigonométrico, é obtida pelo seguinte processo. Primeiramente, é importante lembrar que o seno de -π/2 é igual a -1, pois o ângulo -π/2 está no 4º quadrante do círculo trigonométrico e o seno é negativo nesse quadrante. Além disso, cos π é igual a -1, pois o coseno é negativo no 2º e 3º quadrantes do círculo trigonométrico. Substituindo esses valores na equação, obtemos -1 - 2 . (-1) + 3 . cos (2x) = 1, que pode ser simplificada para 3 . cos (2x) = 0. Isso significa que cos (2x) = 0. Como x está no 1º quadrante, 2x está no 1º ou 2º quadrantes. Portanto, 2x é igual a π/2 ou 3π/2. Como x é igual a π/4 ou 3π/4, a resposta certa é A) π/4.

É importante notar que a escolha do quadrante é fundamental para resolver essa equação. Se não soubéssemos que x está no 1º quadrante, não poderíamos determinar a resposta correta. Além disso, é crucial lembrar as propriedades dos senos e cossenos, como o fato de que o seno é negativo no 3º e 4º quadrantes e o coseno é negativo no 2º e 3º quadrantes. Essas propriedades são essenciais para resolver equações trigonométricas.

Outra forma de resolver essa equação é utilizando a identidade trigonométrica cos (2x) = 1 - 2 . sen²(x). Substituindo essa identidade na equação, obtemos 3 . (1 - 2 . sen²(x)) = 0, que pode ser simplificada para sen²(x) = 1/2. Isso significa que sen(x) é igual a ±√(1/2) = ±1/√2. Como x está no 1º quadrante, sen(x) é positivo, então sen(x) = 1/√2. Portanto, x é igual a arcsen(1/√2) = π/4, que é a resposta certa.

Em resumo, a solução da equação sen (-π/2) - 2 . cos π + 3 . cos (2x) = 1, com x no 1º quadrante do círculo trigonométrico, é π/4. É fundamental lembrar as propriedades dos senos e cossenos e escolher o quadrante correto para resolver equações trigonométricas.

Questão 86

Uma escada de 3,4 m está encostada em uma parede, perpendicular ao solo, formando um ângulo de 30° com solo. A distância
entre o pé da escada, junto ao solo, e a parede é, aproximadamente, igual a

Dados:
sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87; tg 30° = 0,58.

A)2,96 m.
B)6,80 m.
C)1,70 m.
D)1,97 m.
E)5,13 m.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Uma escada de 3,4 m está encostada em uma parede, perpendicular ao solo, formando um ângulo de 30° com solo. A distância entre o pé da escada, junto ao solo, e a parede é, aproximadamente, igual a

Essa distância pode ser encontrada utilizando a função coseno, que relaciona o ângulo de 30° com o cateto adjacente (a distância entre o pé da escada e a parede) e a hipotenusa (o comprimento da escada). Matematicamente, podemos representar isso como:

cos 30° = (distância entre o pé da escada e a parede) / 3,4

Substituindo o valor de cos 30°, que é 0,87, temos:

0,87 = (distância entre o pé da escada e a parede) / 3,4

Para encontrar a distância entre o pé da escada e a parede, podemos multiplicar ambos os lados da equação por 3,4:

distância entre o pé da escada e a parede = 0,87 × 3,4

distância entre o pé da escada e a parede ≈ 2,96 m

Portanto, a resposta certa é a opção A) 2,96 m.

A) 2,96 m.
B) 6,80 m.
C) 1,70 m.
D) 1,97 m.
E) 5,13 m.

Questão 87

Na decoração natalina, haverá uma árvore com 2,1 m de altura, colocada perpendicularmente no chão plano. Pretende-se decorá-la com uma fita amarrada no topo e esticada de modo a formar um ângulo de 30° com o chão. Qual será,aproximadamente, a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão?

Considere√2 = 1,41 e √3= 1,73.

A)2,1.
B)2,4.
C)3,6.
D)4,2.
E)5,2.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, vamos desenhar a figura que representa a situação descrita:

Observamos que a fita forma um triângulo retângulo com a árvore e o chão. O ângulo entre a fita e o chão é de 30°. Podemos nomear os lados do triângulo como:

O lado que vai do pé da árvore até a fita será chamado de x;
O lado que vai do topo da árvore até a fita será chamado de y;
O lado que vai do pé da árvore até o ponto em que a fita toca o chão será chamado de z.

Como o ângulo entre a fita e o chão é de 30°, podemos aplicar as razões trigonométricas para relacionar os lados do triângulo:

tg(30°) = y / x

Como tg(30°) = √3 / 3, podemos reescrever a equação acima como:

√3 / 3 = y / x

Multiplicando ambos os lados pela altura da árvore (2,1 m), obtemos:

y = (√3 / 3) * 2,1

y ≈ 1,73 / 3 * 2,1

y ≈ 1,23 m

Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de x:

x² = y² + z²

Substituindo o valor de y encontrado anteriormente, obtemos:

x² = 1,23² + z²

x² = 1,51 + z²

Como x é a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão, podemos reescrever a equação acima como:

z² = x² - 1,51

Z = √(x² - 1,51)

Para encontrar o valor de x, podemos aplicar novamente o teorema de Pitágoras, considerando que x é a hipotenusa do triângulo:

x² = 2,1² + z²

x² = 4,41 + z²

Z = √(x² - 4,41)

Substituindo a equação de z em função de x, obtemos:

√(x² - 1,51) = √(x² - 4,41)

x² - 1,51 = x² - 4,41

x ≈ √3,9

x ≈ 3,6 m

Portanto, a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão é aproximadamente 3,6 metros.

O gabarito correto é, portanto, C) 3,6.

Questão 88

O total de soluções da equação sen(x) = 0 para 0 x <
360°, é:

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

O total de soluções da equação sen(x) = 0 para 0 < x < 360°, é:

Essa equação pode parecer um pouco estranha no início, mas é muito fácil de resolver. Lembre-se de que o seno de um ângulo é zero quando o ângulo é múltiplo de 180°.

Vamos verificar cada opção:

A)0: Sim, é verdade! O seno de 0° é zero.
B)1: Não, não é verdade. Além de 0°, há outro ângulo entre 0° e 360° que faz o seno ser zero.
C)2: Não, não é verdade. Além de 0° e 180°, não há outro ângulo entre 0° e 360° que faça o seno ser zero.
D)3: Não, não é verdade. Já vimos que apenas 0° e 180° fazem o seno ser zero.

O gabarito correto é A)0. Isso porque, entre 0° e 360°, apenas 0° e 180° fazem o seno ser zero, e esses dois ângulos são os únicos que satisfazem a equação sen(x) = 0.

Mas por que isso é importante? Bem, a equação sen(x) = 0 é usada em muitas áreas, como trigonometria, geometria analítica e até mesmo em aplicações práticas, como navegação e astronomia.

Portanto, entender como resolver essa equação é fundamental para resolver problemas mais complexos em várias áreas do conhecimento.

Questão 89

Qual é o valor de cos(0,1) rad, com quatro casas decimais,
utilizando Série de Taylor?

A)-1,0000
B)-0,9950
C)0,9900
D)0,9950
E)1,0000

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Vamos calcular o valor de cos(0,1) rad utilizando a Série de Taylor. A fórmula da Série de Taylor para o cosseno é:

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

No nosso caso, x = 0,1 rad. Vamos calcular os primeiros termos da série:

cos(0,1) ≈ 1 - (0,1)^2/2! + (0,1)^4/4! - (0,1)^6/6! + ...

cos(0,1) ≈ 1 - 0,01/2 + 0,0001/24 - 0,000001/720 + ...

cos(0,1) ≈ 1 - 0,005 + 0,00000417 - 0,00000139 + ...

cos(0,1) ≈ 0,99500417 - 0,00000139 + ...

Como queremos o valor com quatro casas decimais, podemos parar por aqui. O valor de cos(0,1) rad é aproximadamente:

cos(0,1) ≈ 0,9950

Portanto, a resposta certa é D) 0,9950.

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Questão 90

TEXTO 5

Raios de sol ao meio

Mais uma vez ele aparecia na minha frente como
se tivesse vindo do nada. Seus olhos eram grandes e
negros e pareciam ter nascido bem antes dele. Suas
espinhas se agigantavam conforme o ângulo de que
eram vistas. Sua orelha era algo indescritível. Além
de orelha ela era disforme, meio redonda e meio
achatada nas pontas. Ela era meio várias coisas. Uma
orelha monstro. A boca era alguma coisa que só estava
ali para cumprir seu espaço no rosto. Era boca
porque estava exatamente no lugar da boca. E era a
segunda vez que ele me mobilizava. Mas no conjunto
de elementos díspares reinava uma sensualidade ímpar que me tirava de mim sem que eu soubesse
navegar no outro que em mim surgia. De mim não
sabia entender o que emanava para ele em toda a
sua estranha vastidão de patologia visual. No meio
sol da meia-noite as coisas se anunciaram e antes
que a madrugada avançasse a lua em sua metade
escondida ardeu com um olhar malicioso e sorriu.

(GONÇALVES, Aguinaldo. Das estampas.
São Paulo: Nankin, 2013. p. 177.)

O Texto 5, em seu título faz menção a raio de sol.
Os raios do Sol incidem sobre um poste vertical e projetam
uma sombra de 5 metros de comprimento sobre uma
superfície plana. Sabendo-se que o ângulo de incidência
é de 67,5º, então, nessas condições, podemos dizer que a
altura do poste é

A)2.(√2 -1 ) metros.
B)3.(√2 -1 ) metros.
C)4.(√2 -1 ) metros.
D)5.(√2 -1 ) metros.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

É interessante notar como o texto de Aguinaldo Gonçalves, Das estampas, apresenta uma linguagem poética e sensual que nos leva a uma atmosfera onírica. A descrição do personagem, com seus olhos grandes e negros, espinhas agigantadas e orelha disforme, nos transporta para um universo fantástico e misterioso.

Essa atmosfera é reforçada pela imagem dos raios de sol ao meio-dia, que parece iluminar o cenário e dar vida às coisas. A sensualidade ímpar do personagem nos faz sentir que estamos diante de algo mais do que humano, algo que nos tira de nós mesmos e nos faz navegar em um outro eu.

Agora, se voltarmos ao problema de física apresentado, podemos notar que a questão está relacionada à incidência dos raios de sol sobre um poste vertical. A sombra projetada sobre a superfície plana é de 5 metros de comprimento, e o ângulo de incidência é de 67,5º. Isso nos permite calcular a altura do poste, que é de 5(√2 -1 ) metros, como resposta correta D).

É curioso como essas duas questões, aparentemente tão diferentes, estão conectadas pela imagem dos raios de sol. Enquanto o texto literário nos leva a uma atmosfera onírica e sensual, o problema de física nos apresenta uma questão de cálculo e precisão. No entanto, ambos nos fazem refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la de maneiras diferentes.

A linguagem poética e sensual do texto de Aguinaldo Gonçalves nos faz sentir que a realidade é algo mais do que o que podemos ver e tocar. É uma questão de percepção, de como podemos navegar em nossos próprios pensamentos e emoções. Já o problema de física nos apresenta uma realidade mais objetiva, onde as leis da física governam o comportamento dos objetos.

No entanto, é interessante notar como ambas as abordagens se encontram na imagem dos raios de sol. Seja na atmosfera onírica do texto literário ou na questão de cálculo do problema de física, a luz do sol nos faz refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la.

Em última análise, podemos dizer que a realidade é algo complexo e multifacetado, que pode ser abordado de diversas maneiras. Seja pela linguagem poética e sensual da literatura ou pela precisão e objetividade da física, a imagem dos raios de sol nos faz refletir sobre a natureza da realidade e como podemos percebê-la.

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