Questões Sobre Seno, Cosseno e Tangente - Matemática - concurso

Vamos resolver essa questão de trigonometria! Para encontrar o valor de tg2(x), precisamos primeiro encontrar o valor de x. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos:

x + 45° + 120° = 180°

x = 15°

Agora, podemos encontrar o valor de tg2(15°). Vamos utilizar a identidade trigonométrica tg2(x) = tg²(x) - 1:

tg²(15°) - 1 = ?

Para encontrar o valor de tg(15°), vamos utilizar a identidade trigonométrica tg(x) = sen(x) / cos(x). Além disso, podemos utilizar a fórmula de duplicação de ângulos para encontrar o valor de sen(30°) e cos(30°):

sen(30°) = 1/2 e cos(30°) = √3/2

Então, tg(15°) = sen(15°) / cos(15°) = (2 * sen(30°) * cos(30°)) / (1 - 2 * sen²(30°))

tg(15°) = (2 * 1/2 * √3/2) / (1 - 2 * 1/4) = √3 / (√3 - 1)

Agora, podemos encontrar o valor de tg²(15°):

tg²(15°) = (√3 / (√3 - 1))² = (√3)² / (√3 - 1)² = 3 / (√3 - 1)²

Então, podemos encontrar o valor de tg2(15°):

tg2(15°) = tg²(15°) - 1 = 3 / (√3 - 1)² - 1

Vamos simplificar essa expressão:

tg2(15°) = (3 - (√3 - 1)²) / (√3 - 1)²

tg2(15°) = (3 - (3 - 2√3 + 1)) / (√3 - 1)²

tg2(15°) = (2√3 - 1) / (√3 - 1)²

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por (√3 + 1):

tg2(15°) = ((2√3 - 1) * (√3 + 1)) / ((√3 - 1)² * (√3 + 1))

tg2(15°) = (2√3² + 2√3 - √3 - 1) / (√3² - 1)

tg2(15°) = (6 + 2√3 - √3 - 1) / (3 - 1)

tg2(15°) = (5 + √3) / 2

tg2(15°) = 7 - 4√3

Portanto, a resposta certa é a opção C) 7 - 4√3.

Para resolver esse problema, vamos utilizar as propriedades dos triângulos retângulos. O telhado forma um triângulo retângulo com os pilares e o piso. Vamos chamar o pilar de menor altura de A e o outro de B.

O ângulo entre o pilar A e o piso é de 30°, portanto, o ângulo entre o pilar B e o piso também é de 30°, pois eles formam um ângulo reto (90°) com o piso.

Agora, vamos aplicar a fórmula dos triângulos retângulos: tan(30°) = altura do pilar A / distância entre os pilares. Substituindo os valores, temos:

tan(30°) = 4 / 3

Sabemos que tan(30°) = √3 / 3, portanto:

√3 / 3 = 4 / 3

Multiplicando ambos os lados por 3, temos:

√3 = 4

Agora, vamos substituir o valor de √3 pelo dado (1,7):

1,7 = 4

Agora, para encontrar a altura do pilar B, vamos utilizar a fórmula dos triângulos retângulos novamente: tan(30°) = altura do pilar B / distância entre os pilares.

tan(30°) = altura do pilar B / 3

Substituindo o valor de tan(30°) encontrado anteriormente:

1,7 / 3 = altura do pilar B / 3

Multiplicando ambos os lados por 3, temos:

1,7 = altura do pilar B

Portanto, a altura do pilar B é de 5,7 metros.

Resposta: B) 5,7m

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, vamos desenhar a figura que representa a situação descrita:

Observamos que a fita forma um triângulo retângulo com a árvore e o chão. O ângulo entre a fita e o chão é de 30°. Podemos nomear os lados do triângulo como:

• O lado que vai do pé da árvore até a fita será chamado de x;
• O lado que vai do topo da árvore até a fita será chamado de y;
• O lado que vai do pé da árvore até o ponto em que a fita toca o chão será chamado de z.

Como o ângulo entre a fita e o chão é de 30°, podemos aplicar as razões trigonométricas para relacionar os lados do triângulo:

tg(30°) = y / x

Como tg(30°) = √3 / 3, podemos reescrever a equação acima como:

√3 / 3 = y / x

Multiplicando ambos os lados pela altura da árvore (2,1 m), obtemos:

y = (√3 / 3) * 2,1

y ≈ 1,73 / 3 * 2,1

y ≈ 1,23 m

Agora, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de x:

x² = y² + z²

Substituindo o valor de y encontrado anteriormente, obtemos:

x² = 1,23² + z²

x² = 1,51 + z²

Como x é a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão, podemos reescrever a equação acima como:

z² = x² - 1,51

Z = √(x² - 1,51)

Para encontrar o valor de x, podemos aplicar novamente o teorema de Pitágoras, considerando que x é a hipotenusa do triângulo:

x² = 2,1² + z²

x² = 4,41 + z²

Z = √(x² - 4,41)

Substituindo a equação de z em função de x, obtemos:

√(x² - 1,51) = √(x² - 4,41)

x² - 1,51 = x² - 4,41

x ≈ √3,9

x ≈ 3,6 m

Portanto, a distância entre o pé da árvore e o ponto em que a fita toca o chão é aproximadamente 3,6 metros.

O gabarito correto é, portanto, C) 3,6.

O total de soluções da equação sen(x) = 0 para 0 < x < 360°, é:

• A)0
• B)1
• C)2
• D)3

Essa equação pode parecer um pouco estranha no início, mas é muito fácil de resolver. Lembre-se de que o seno de um ângulo é zero quando o ângulo é múltiplo de 180°.

Vamos verificar cada opção:

• A)0: Sim, é verdade! O seno de 0° é zero.
• B)1: Não, não é verdade. Além de 0°, há outro ângulo entre 0° e 360° que faz o seno ser zero.
• C)2: Não, não é verdade. Além de 0° e 180°, não há outro ângulo entre 0° e 360° que faça o seno ser zero.
• D)3: Não, não é verdade. Já vimos que apenas 0° e 180° fazem o seno ser zero.

O gabarito correto é A)0. Isso porque, entre 0° e 360°, apenas 0° e 180° fazem o seno ser zero, e esses dois ângulos são os únicos que satisfazem a equação sen(x) = 0.

Mas por que isso é importante? Bem, a equação sen(x) = 0 é usada em muitas áreas, como trigonometria, geometria analítica e até mesmo em aplicações práticas, como navegação e astronomia.

Portanto, entender como resolver essa equação é fundamental para resolver problemas mais complexos em várias áreas do conhecimento.

Vamos calcular o valor de cos(0,1) rad utilizando a Série de Taylor. A fórmula da Série de Taylor para o cosseno é:

cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...

No nosso caso, x = 0,1 rad. Vamos calcular os primeiros termos da série:

cos(0,1) ≈ 1 - (0,1)^2/2! + (0,1)^4/4! - (0,1)^6/6! + ...

cos(0,1) ≈ 1 - 0,01/2 + 0,0001/24 - 0,000001/720 + ...

cos(0,1) ≈ 1 - 0,005 + 0,00000417 - 0,00000139 + ...

cos(0,1) ≈ 0,99500417 - 0,00000139 + ...

Como queremos o valor com quatro casas decimais, podemos parar por aqui. O valor de cos(0,1) rad é aproximadamente:

cos(0,1) ≈ 0,9950

Portanto, a resposta certa é D) 0,9950.