Para que todas as soluções da equação diferencial y” + ny = cos(nx) sejam funções ilimitadas, o valor da constante n deve ser:

Você sabia que a equação diferencial y'' + ny = cos(nx) é uma equação diferencial linear não homogênea? Isso significa que, para encontrar suas soluções, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada, que é y'' + ny = 0, e então encontrar uma solução particular da equação não homogênea.

Para a equação homogênea, podemos encontrar as soluções utilizando o método de separação de variáveis ou o método da fórmula geral. No caso, a solução geral é dada por y(x) = Acos(√n x) + Bsen(√n x), onde A e B são constantes arbitrárias.

Agora, para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos utilizar o método da variação de parâmetros ou o método de undetermined coefficients. No caso, vamos utilizar o método de undetermined coefficients. Suponha que a solução particular seja dada por y_p(x) = Ccos(nx) + Dsen(nx), onde C e D são constantes a serem determinadas.

Substituindo y_p(x) na equação original, obtemos um sistema de equações para C e D. Resolvendo este sistema, encontramos que C = 0 e D = 1/n. Portanto, a solução particular é dada por y_p(x) = (1/n)sen(nx).

Agora, podemos encontrar a solução geral da equação não homogênea somando a solução homogênea e a solução particular. Temos que y(x) = Acos(√n x) + Bsen(√n x) + (1/n)sen(nx).

Para que todas as soluções sejam funções ilimitadas, o valor da constante n deve ser...

E o gabarito correto é E) 0 ou 1. Isso ocorre porque, se n = 0, a equação diferencial se torna y'' = 1, que tem soluções ilimitadas. Além disso, se n = 1, a equação diferencial se torna y'' + y = cos(x), que também tem soluções ilimitadas.