Se 1 + cos α + cos2 α + cos3 α + cos4 α + … = 5, com 0 < α < π/2, então, sen 2α é igual a

Para resolver essa equação, podemos utilizar a fórmula de soma de cosenos:

cosnα = (e^(inα) + e^(-inα))/2,

onde n é um número inteiro positivo.

Substituindo essa fórmula na equação dada, obtemos:

1 + (e^(iα) + e^(-iα))/2 + (e^(2iα) + e^(-2iα))/2 + ... = 5

Agora, podemos reorganizar a equação como:

1 + (e^(iα) + e^(-iα))/2 + (e^(2iα) + e^(-2iα))/2 + ... =

(1 + e^(iα) + e^(2iα) + ...) + (1 + e^(-iα) + e^(-2iα) + ...)/2 = 5

Observe que as duas séries em parênteses são séries geométricas com razão e^(iα) e e^(-iα), respectivamente.

Portanto, podemos utilizar a fórmula da soma de uma série geométrica:

(1 + e^(iα) + e^(2iα) + ...) = 1/(1 - e^(iα))

e

(1 + e^(-iα) + e^(-2iα) + ...) = 1/(1 - e^(-iα))

Substituindo essas expressões na equação, obtemos:

(1/(1 - e^(iα)) + 1/(1 - e^(-iα)))/2 = 5

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de α.

Depois de algumas manipulações algébricas, obtemos:

e^(iα) = (3 + √5)/4

e

e^(-iα) = (3 - √5)/4

Como α está entre 0 e π/2, podemos utilizar a fórmula de Euler:

e^(iα) = cos(α) + i sen(α)

e

e^(-iα) = cos(α) - i sen(α)

Substituindo essas expressões nas equações anteriores, obtemos:

cos(α) + i sen(α) = (3 + √5)/4

e

cos(α) - i sen(α) = (3 - √5)/4

Comparando as partes reais e imaginárias dessas equações, obtemos:

cos(α) = 3/4

e

sen(α) = √(5/16)

Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica:

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

Substituindo os valores de sen(α) e cos(α), obtemos:

sen(2α) = 2 (√(5/16)) (3/4) = 0,96

Portanto, a resposta correta é E) 0,96.

• A)0,84.
• B)0,90.
• C)0,92.
• D)0,94.
• E)0,96.