Seja α um número real tal que a equação 2cos(x)+10 = 2α tem solução. Nessas condições,

Seja α um número real tal que a equação 2cos(x) + 10 = 2α tem solução. Nessas condições, como a função cosseno tem seu valor máximo igual a 1 e seu valor mínimo igual a -1, podemos concluir que -1 ≤ cos(x) ≤ 1. Multiplicando essa desigualdade por 2, temos -2 ≤ 2cos(x) ≤ 2. Adicionando 10 a essa desigualdade, obtemos 8 ≤ 2cos(x) + 10 ≤ 12. Como 2cos(x) + 10 = 2α, podemos reescrever essa desigualdade como 8 ≤ 2α ≤ 12. Dividindo essa desigualdade por 2, obtemos 4 ≤ α ≤ 6.

Portanto, a resposta certa é A) 4 ≤ α ≤ 6. Isso acontece porque a equação 2cos(x) + 10 = 2α tem solução se e somente se o valor de α estiver dentro desse intervalo. Se α fosse menor que 4 ou maior que 6, a equação não teria solução. Por exemplo, se α = 7, a equação 2cos(x) + 10 = 2α se tornaria 2cos(x) + 10 = 14, o que não tem solução real.

Já se α fosse menor que 4, por exemplo, α = 3, a equação 2cos(x) + 10 = 2α se tornaria 2cos(x) + 10 = 6, o que também não tem solução real. Sendo assim, a resposta A) 4 ≤ α ≤ 6 é a única que faz sentido, pois é a única que garante a existência de solução para a equação.

Em resumo, para que a equação 2cos(x) + 10 = 2α tenha solução, é necessário que α esteja dentro do intervalo 4 ≤ α ≤ 6. Qualquer outro valor de α não garantiria a existência de solução para a equação. Por isso, a resposta certa é A) 4 ≤ α ≤ 6.