Seja cos²(x – y) = sen(2x)sen(2y), para todo x e y reais, dentro do intervalo (o,π/2). Com base nessa equação, assinale a opção que apresenta a solução de x + y

Vamos resolver a equação dada: cos²(x - y) = sen(2x)sen(2y). Primeiramente, precisamos lembrar que cos²(u) = 1 - sen²(u), então:

cos²(x - y) = 1 - sen²(x - y)

Substituindo essa igualdade na equação original:

1 - sen²(x - y) = sen(2x)sen(2y)

Agora, vamos lembrar de outra identidade trigonométrica: sen(2u) = 2sen(u)cos(u). Aplicando essa identidade às senoides dentro da equação:

1 - sen²(x - y) = 2sen(x)cos(x)sen(y)cos(y)

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um valor que satisfaça ambas as expressões. Um valor que é comum às duas é sen(x)cos(x). Veja que se x + y = π/2, então:

sen(x)cos(x) = sen(π/2 - y)cos(π/2 - y) = sen(y)cos(y)

Substituindo isso na equação anterior:

1 - sen²(π/2 - y) = 2sen(y)cos(y)sen(y)cos(y)

Simplificando a equação:

1 - (1 - cos²(π/2 - y)) = 2sen²(y)cos²(y)

Usando a identidade cos²(u) = 1 - sen²(u) novamente:

cos²(π/2 - y) = 2sen²(y)cos²(y)

Dividindo ambos os lados pela cos²(y):

cos²(π/2 - y)/cos²(y) = 2sen²(y)

Como cos(π/2 - y)/cos(y) = sen(y), temos:

sen²(y) = 2sen²(y)

Essa equação é verdadeira quando sen(y) = 0 ou sen(y) = 1. No entanto, como y é um ângulo no intervalo (0, π/2), sabemos que sen(y) ≠ 0. Logo, sen(y) = 1.

Como sen(y) = 1, temos que y = π/2. Substituindo isso na equação original x + y = π/2, encontramos que x = 0.

Portanto, a solução de x + y é π/2, que é a opção A).