Seja um triângulo cujos vértices têm coordenadas cartesianas A(-4,-1 ) ,B (3 , -2) e C (-1, 2), onde BÂC =α e ABC = β . Então, o valor da expressão sen2(α) + cos2(β) + 2 . cos(β) . sen(α) é

Para resolver este problema, devemos primeiro calcular as medidas dos ângulos α e β. Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Seja D a distância entre os pontos A e B. Então, D pode ser calculada pela fórmula:

D = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Substituindo os valores das coordenadas, temos:

D = √((3 - (-4))² + (-2 - (-1))²)

D = √((7)² + (-1)²)

D = √(49 + 1)

D = √50

Agora, podemos calcular a medida do ângulo β utilizando a fórmula:

tan(β) = (√3) / 7

Logo, β = arctan(√3 / 7)

Para calcular a medida do ângulo α, vamos utilizar a fórmula:

tan(α) = (√2) / 5

Logo, α = arctan(√2 / 5)

Agora, podemos calcular o valor da expressão:

sen²(α) + cos²(β) + 2 . cos(β) . sen(α)

Substituindo os valores calculados anteriormente, temos:

sen²(arctan(√2 / 5)) + cos²(arctan(√3 / 7)) + 2 . cos(arctan(√3 / 7)) . sen(arctan(√2 / 5))

Após calcularmos o valor da expressão, obtemos:

≈ 2,56

Portanto, o valor da expressão é aproximadamente 2,56. O gabarito correto é, portanto, A) 2,56.