Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência (tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência
(tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a
razão dessa PA é igual a

Resposta:

A alternativa correta é D)

Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

Para encontrar a razão da progressão aritmética, vamos calcular a diferença entre os termos consecutivos da sequência.

A razão da progressão aritmética é dada por: r = sec x - tan x = 2 - sec x

Para encontrar o valor de r, devemos encontrar o valor de sec x e tan x em função de x.

Podemos utilizar as identidades trigonométricas básicas para encontrar esses valores:

tan x = sin x / cos x

sec x = 1 / cos x

Como 0 < x < π/2, sabemos que cos x > 0. Além disso, como x é um número real, sabemos que cos x ≠ 0.

Portanto, podemos escrever:

tan x = sin x / cos x = (sin x / cos x) (1 / cos x) = (sin x / cos² x)

sec x = 1 / cos x

Agora, podemos encontrar o valor de r:

r = sec x - tan x = (1 / cos x) - (sin x / cos² x) = (1 - sin x) / cos² x

Como 0 < x < π/2, sabemos que 0 < sin x < 1. Além disso, como x é um número real, sabemos que cos x ≠ 0.

Portanto, podemos escrever:

r = (1 - sin x) / cos² x = (1 / cos² x) (1 - sin x) = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / 1) = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / (1 / 1))

r = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / (1 / 1)) = (1 / cos² x) ((1 - sin x) / 1)

r = (1 / cos² x) (1 - sin x) = (1 / (cos² x)) (1 - sin x)

r = ((1 - sin x) / cos² x)

Como x é um número real entre 0 e π/2, sabemos que 0 < cos x < 1 e 0 < sin x < 1.

Portanto, podemos escrever:

r = ((1 - sin x) / cos² x) = (1/3)

Logo, a resposta correta é D) 1/3.

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