Sejam as curvas λ : x2 + y2 = r2 e β: y2 – x2 = 4 tangentes em dois pontos distintos do plano cartesiano. Considere S o conjunto de pontos P(x, y) tais que x2 + y2 ≤ r2 . Se for realizada uma rotação de 90º dos pontos de S em torno de uma das assíntotas de β , então o sólido formado tem uma superfície cuja área total, em unidade de área, mede
Sejam as curvas λ : x2 + y2 = r2 e β: y2 – x2 = 4 tangentes
em dois pontos distintos do plano cartesiano.
Considere S o conjunto de pontos P(x, y) tais que x2 + y2 ≤ r2 .
Se for realizada uma rotação de 90º dos pontos de S em
torno de uma das assíntotas de β , então o sólido formado
tem uma superfície cuja área total, em unidade de área,
mede
- A)16/3π
- B)8π
- C)12π
- D)16π
Resposta:
A alternativa correta é D)
é 16π. Isso ocorre porque, ao realizar uma rotação de 90º dos pontos de S em torno de uma das assíntotas de β, estamos criando um sólido que pode ser visto como uma soma de círculos concêntricos, cada um com raio igual ao valor de x para um determinado ponto P(x, y) em S.
Como x2 + y2 ≤ r2, podemos concluir que o raio máximo desses círculos é igual a r. Além disso, como a curva λ é uma circunferência de raio r, a área total do sólido formado é igual à área da superfície lateral de um cilindro de raio r e altura 2r, que é igual a 2πr × 2r = 4πr2.
Já que a área total do sólido é dada em unidades de área, podemos concluir que a resposta correta é 16π, pois r2 = 4 (dado que y2 - x2 = 4 é uma equação de uma hipérbole de centro (0, 0) e vértices (2, 0) e (-2, 0)).
Portanto, a resposta correta é D) 16π.
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