Sejam x,y ∈ (0,π/2), tais que cos(x)= 4/5 e sen(y)= 5/13. Podemos concluir que tg (x+y) é igual a:

Vamos começar calculando o valor de sen(x) utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Substituindo o valor de cos(x) = 4/5, temos:

sen²(x) + (4/5)² = 1

sen²(x) + 16/25 = 1

sen²(x) = 1 - 16/25

sen²(x) = 9/25

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

sen(x) = ±√(9/25)

sen(x) = ±3/5

Como x ∈ (0, π/2), sabemos que sen(x) > 0, então:

sen(x) = 3/5

Agora, vamos calcular o valor de cos(y) utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

sen²(y) + cos²(y) = 1

Substituindo o valor de sen(y) = 5/13, temos:

(5/13)² + cos²(y) = 1

25/169 + cos²(y) = 1

cos²(y) = 1 - 25/169

cos²(y) = 144/169

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

cos(y) = ±√(144/169)

cos(y) = ±12/13

Como y ∈ (0, π/2), sabemos que cos(y) > 0, então:

cos(y) = 12/13

Agora, vamos calcular o valor de tg(x+y) utilizando a fórmula:

tg(x+y) = (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x)tg(y))

Primeiramente, vamos calcular o valor de tg(x):

tg(x) = sen(x) / cos(x)

tg(x) = (3/5) / (4/5)

tg(x) = 3/4

Agora, vamos calcular o valor de tg(y):

tg(y) = sen(y) / cos(y)

tg(y) = (5/13) / (12/13)

tg(y) = 5/12

Agora, podemos calcular o valor de tg(x+y):

tg(x+y) = (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x)tg(y))

tg(x+y) = ((3/4) + (5/12)) / (1 - (3/4)(5/12))

tg(x+y) = ((9/12) + (5/12)) / (1 - (15/48))

tg(x+y) = (14/12) / ((48/48) - (15/48))

tg(x+y) = (14/12) / (33/48)

tg(x+y) = (14/12) × (48/33)

tg(x+y) = 56/33

Portanto, a resposta correta é E) 56/33.