Sobre a reta s de equação y − 2x − 1= 0 e a circunferência C de equação x2 + y2 − 2x + y − 1= 0, afirma-se: I. C tem centro no ponto O = (1, -1/2). II. s é tangente a C. III. s determina com o eixo das abscissas um ângulo θ tal que senθ = 2√5/5 .Para essas afirmações, pode-se garantir que é verdadeira a alternativa

Para determinar qual das alternativas é verdadeira, vamos analisar cada uma das afirmações.

Começando pela afirmação I, temos que o centro da circunferência C é o ponto O = (1, -1/2). Para verificar isso, podemos reescrever a equação da circunferência na forma padrão (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro e r é o raio.

Fazendo as contas, obtemos (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = 5/4, o que nos mostra que o centro da circunferência é de fato o ponto O = (1, -1/2).

Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Agora, vamos analisar a afirmação II. Para que a reta s seja tangente à circunferência C, é necessário que o produto escalar do vetor normal à reta s e o vetor que liga o centro da circunferência ao ponto de tangência seja igual a zero.

Calculando o produto escalar, obtemos que ele não é igual a zero, o que nos mostra que a reta s não é tangente à circunferência C.

Portanto, a afirmação II é falsa.

Finalmente, vamos analisar a afirmação III. Para determinar o ângulo θ formado pela reta s e o eixo das abscissas, podemos calcular a inclinação da reta s, que é igual a 1/2.

A partir daí, podemos calcular o seno do ângulo θ, que é igual a 2√5/5, o que confirma a afirmação III.

Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Em resumo, apenas as afirmações I e III são verdadeiras, o que nos leva a concluir que a alternativa correta é C) apenas I e III.