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Suponha que secα = x e tgα = x – 1, então x t em valor:
Suponha que secα = x e
tgα
= x – 1, então x t em valor:
tgα
= x – 1, então x t em valor:
- A)Zero
- B)–1
- C)2
- D)1
- E)1/2
Resposta:
A alternativa correta é D)
Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, vamos lembrar que secα e tgα são funções trigonométricas relacionadas à função senα. Sabemos que:
tgα = senα / cosα e secα = 1 / cosα.
Dadas as informações do problema, sabemos que secα = x e tgα = x - 1. Podemos, então, escrever:
x = 1 / cosα ... (1) e x - 1 = senα / cosα ... (2)
Dividindo a equação (2) por (1), obtemos:
(x - 1) / x = senα / (1 / cosα) = senα / (1 / cosα) * (cosα / cosα) = senα * cosα.
Portanto, temos:
(x - 1) / x = senα * cosα ... (3)
Agora, vamos lembrar que senα * cosα = (1/2) * sen(2α). Substituindo na equação (3), obtemos:
(x - 1) / x = (1/2) * sen(2α) ... (4)
Como tgα = x - 1 e tgα = senα / cosα, podemos escrever:
x - 1 = senα / cosα ... (5)
Elevando ao quadrado ambos os lados da equação (5), obtemos:
(x - 1)^2 = (senα / cosα)^2 = (senα)^2 / (cosα)^2 ... (6)
Lembre-se de que (senα)^2 + (cosα)^2 = 1. Dividindo essa equação por (cosα)^2, obtemos:
(senα)^2 / (cosα)^2 + 1 = 1 / (cosα)^2.
Portanto, (senα)^2 / (cosα)^2 = 1 / (cosα)^2 - 1.
Substituindo na equação (6), obtemos:
(x - 1)^2 = 1 / (cosα)^2 - 1 ... (7)
Agora, vamos lembrar que secα = 1 / cosα = x. Substituindo na equação (7), obtemos:
(x - 1)^2 = 1 / x^2 - 1 ... (8)
Multiplicando ambos os lados da equação (8) por x^2, obtemos:
x^2 * (x - 1)^2 = 1 - x^2.
Expanding o lado esquerdo da equação, obtemos:
x^4 - 2x^3 + x^2 = 1 - x^2.
Rearranging, obtemos:
x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 1 = 0.
Fatorando, obtemos:
(x - 1)^2 * (x^2 + 1) = 0.
Como x^2 + 1 ≠ 0 para qualquer valor real de x, temos:
(x - 1)^2 = 0.
Portanto, x - 1 = 0, ou seja, x = 1.
A resposta certa é D) 1.
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