ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C) . Sabendo que o ângulo APB é igual a 600 , que PA = 6 e PC = 8, a medida de PQ será

Vamos analisar o triângulo APB. Como o ângulo APB é igual a 60⁰, temos que o triângulo APB é isósceles, pois os ângulos base de um triângulo isósceles são iguais. Logo, PA = PB. Além disso, como PB intersecta AC em Q, temos que o triângulo APQ é também isósceles, pois PA = PQ.

Como PA = 6 e PC = 8, podemos calcular PB. Como PA = PB e PC = PA + PQ, temos que PB = PC - PQ. Substituindo os valores, obtemos:

PB = 8 - PQ

Agora, vamos analisar o triângulo APB novamente. Como PA = PB e o ângulo APB é igual a 60⁰, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo APB.

Sen(60⁰) = PB / AB

Como sen(60⁰) = √3 / 2, temos:

√3 / 2 = PB / AB

Como PB = 8 - PQ, podemos substituir:

√3 / 2 = (8 - PQ) / AB

Agora, vamos analisar o triângulo ABC. Como ABC é um triângulo equilátero, temos que AB = AC = BC.

Além disso, como Q está entre A e C, temos que AQ + QC = AC.

Como AQ = PQ e QC = BQ, temos que PQ + BQ = AC.

Substituindo AC por AB, temos:

PQ + BQ = AB

Agora, podemos substituir AB na equação anterior:

√3 / 2 = (8 - PQ) / (PQ + BQ)

Agora, vamos resolver a equação para encontrar PQ.

√3 / 2 = (8 - PQ) / (PQ + BQ)

Multiplicando ambos os lados por 2, temos:

√3 = (16 - 2PQ) / (PQ + BQ)

Multiplicando ambos os lados por (PQ + BQ), temos:

√3(PQ + BQ) = 16 - 2PQ

Expandido, temos:

√3PQ + √3BQ = 16 - 2PQ

Agrupando os termos com PQ, temos:

(√3 + 2)PQ = 16 - √3BQ

Dividindo ambos os lados por (√3 + 2), temos:

PQ = (16 - √3BQ) / (√3 + 2)

Agora, vamos calcular BQ. Como BQ = AB - AQ e AQ = PQ, temos:

BQ = AB - PQ

Substituindo AB por BC, temos:

BQ = BC - PQ

Como ABC é um triângulo equilátero, temos que BC = AB.

Logo, BQ = AB - PQ

Substituindo AB por 6, temos:

BQ = 6 - PQ

Agora, vamos substituir BQ na equação anterior:

PQ = (16 - √3(6 - PQ)) / (√3 + 2)

Simplificando, temos:

PQ = 24 / 7

Portanto, a medida de PQ é 24/7.

Resposta: A) 24 / 7