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Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A — (0,0), B — (3,4) e C — (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é
Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A — (0,0), B — (3,4) e C — (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é
- A)(4,16/5)
- B)(17/4,3)
- C)(5,12/5)
- D)(11/2,2)
- E)(6,8/5)
Resposta:
A alternativa correta é D)
localizado no ponto de intersecção entre a reta que passa por B e é paralela ao eixo das ordenadas e a reta que passa por C e é paralela ao eixo das abscissas.
Para entender melhor essa afirmação, vamos analisar as posições possíveis do ponto P e como elas afetam a área do retângulo MNPQ.
Se P estiver localizado no lado BC, o retângulo MNPQ terá altura igual à ordenada do ponto P e base igual à distância entre M e N. Como a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura, teremos que a área do retângulo MNPQ será máxima quando a ordenada do ponto P for máxima.
Para encontrar a ordenada do ponto P, podemos utilizar a equação da reta que passa por B e C. Essa reta tem equação y = -x/2 + 4, portanto a ordenada do ponto P é igual a y = -x/2 + 4, onde x é a abscissa do ponto P.
Como o ponto P está localizado no lado BC, sua abscissa x varia de 3 a 8. Portanto, a ordenada do ponto P varia de 4 a 0. Para encontrar o valor de x que maximiza a ordenada do ponto P, podemos derivar a equação y = -x/2 + 4 em relação a x e igualá-la a zero.
Obtemos então a equação y' = -1/2 = 0, que não tem solução. Isso significa que a ordenada do ponto P é máxima quando x é igual a 11/2.
Substituindo esse valor de x na equação y = -x/2 + 4, encontramos que a ordenada do ponto P é igual a 2. Portanto, o ponto P é igual a (11/2, 2), que é a opção D.
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