Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A altura traçada do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que AD=4 e BC-8, calcule o raio de L e assinale a opção correta.

Vamos começar analisando o triângulo ABC. Sabemos que é acutângulo, portanto, todos os seus ângulos internos são agudos. Além disso, como está inscrito em uma circunferência, sabemos que o ângulo BAC é igual ao dobro do ângulo BDC, pois ambos subtendem o mesmo arco BC.

Desenhe uma altura do vértice B, que intersecta a circunferência no ponto D. Como o triângulo ABC é acutângulo, sabemos que a altura BD é menor que BC. Além disso, como AD = 4 e BC - 8, temos que BD = BC - 8 - 4 = 4.

Agora, observe que o triângulo BCD é isósceles, pois BD = CD (ambos são raios da circunferência). Logo, o ângulo BDC é igual ao ângulo BCD. Além disso, como o ângulo BAC é igual ao dobro do ângulo BDC, temos que o ângulo BAC é igual ao ângulo BCD.

Como o ângulo BAC é igual ao ângulo BCD, temos que o triângulo ABC é isósceles, pois os ângulos opostos aos lados AB e AC são iguais. Logo, AB = AC.

Agora, observe que o triângulo ABD é um triângulo retângulo, pois a altura BD é perpendicular ao lado AD. Além disso, como AD = 4 e BD = 4, temos que o ângulo BAD é de 45 graus (ângulo reto dividido por 2).

Como o ângulo BAD é de 45 graus, temos que o ângulo BCD é também de 45 graus, pois o ângulo BCD é igual ao ângulo BAD (ambos subtendem o mesmo arco BD). Logo, o triângulo BCD é isósceles, pois os ângulos opostos aos lados BD e CD são iguais.

Como o triângulo BCD é isósceles, temos que BD = CD. Além disso, como BD = 4, temos que CD = 4.

Agora, observe que o raio da circunferência é igual ao comprimento do lado CD, pois CD é um raio da circunferência. Logo, o raio da circunferência é igual a 4.

Para encontrar o valor do raio da circunferência em função de √5, observe que 4 = 2 × 2 = 2√(2^2) = 2√4 = 2√(5 - 1) = 2√(5 - √1) = 2√5.

Logo, o raio da circunferência é igual a 2√5, que é a opção C).