Considere um prisma triangular reto e um tetraedro de mesma base, a qual é um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 3√2 cm. Sabendo que a altura do tetraedro é igual a um terço da altura do prisma, e que a diferença entre o volume do tetraedro e o volume do prisma é igual a 8 cm³, então a altura do prisma é:

Considere um prisma triangular reto e um tetraedro de mesma base, a qual é um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 3√2 cm. Sabendo que a altura do tetraedro é igual a um terço da altura do prisma, e que a diferença entre o volume do tetraedro e o volume do prisma é igual a 8 cm³, então a altura do prisma é:

• A) 8/3 cm
• B) 24/3 cm
• C) 1 cm
• D) 2/3 cm
• E) 2 cm

Vamos começar calculando a área da base do tetraedro, que é um triângulo retângulo isósceles. A hipotenusa mede 3√2 cm, então os catetos medem √2 cm. A área da base é então:

A = (1/2) * √2 * √2 = 1 cm²

Agora, vamos calcular o volume do tetraedro. A fórmula do volume do tetraedro é:

V = (1/3) * A * h

Onde A é a área da base e h é a altura do tetraedro. Substituindo os valores, temos:

V = (1/3) * 1 * h = h/3

Já sabemos que a altura do tetraedro é um terço da altura do prisma, então:

h = (1/3)H

Onde H é a altura do prisma. Substituindo essa expressão na fórmula do volume do tetraedro, temos:

V = ((1/3)H)/3 = H/9

Agora, vamos calcular o volume do prisma. A fórmula do volume do prisma é:

V = A * H

Substituindo os valores, temos:

V = 1 * H = H

A diferença entre o volume do tetraedro e o volume do prisma é igual a 8 cm³, então:

H - H/9 = 8

Resolvendo essa equação, encontramos:

H = 2 cm

Portanto, a altura do prisma é igual a 2 cm, que é a opção E).