O triângulo equilátero XYZ, cuja medida do lado é 4m, é dividido em dois triângulos pelo segmento de reta XP, onde P é um ponto sobre o lado ZY cuja distância a Z é 1m. O produto dos números que representam respectivamente as medidas, em metros quadrados, das áreas dos triângulos XPZ e XPY é
O triângulo equilátero XYZ, cuja medida do lado é 4m, é dividido em dois triângulos pelo segmento de reta XP, onde P é um ponto sobre o lado ZY cuja distância a Z é 1m. O produto dos números que representam respectivamente as medidas, em metros quadrados, das áreas dos triângulos XPZ e XPY é
- A)4,50.
- B)6,75.
- C)9,00.
- D)11,25.
Resposta:
A alternativa correta é C)
Vamos calcular as áreas dos triângulos XPZ e XPY para encontrar o produto das medidas das áreas.
Primeiramente, vamos encontrar a altura do triângulo XYZ. Como é um triângulo equilátero, a altura é igual à metade da medida do lado, que é 4m.
h = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 m
Agora, vamos calcular a área do triângulo XYZ.
A = (b × h) / 2 = (4 × 2√3) / 2 = 4√3 m²
Como o triângulo XYZ é dividido em dois triângulos pelo segmento de reta XP, as áreas dos triângulos XPZ e XPY são proporcionais às suas bases.
Como a distância de P a Z é 1m, a base do triângulo XPZ é 1m e a base do triângulo XPY é 3m.
A área do triângulo XPZ é 1/4 da área do triângulo XYZ.
A XPZ = (1/4) × 4√3 = √3 m²
A área do triângulo XPY é 3/4 da área do triângulo XYZ.
A XPY = (3/4) × 4√3 = 3√3 m²
O produto das áreas é:
A XPZ × A XPY = √3 × 3√3 = 9 m²
Portanto, o gabarito correto é C) 9,00.
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