Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Vamos analisar o problema passo a passo. Primeiramente, observe que o triângulo ABC é isósceles, pois AB = AC. Desenhamos uma figura para melhor entender o problema:

Agora, vamos encontrar a área do hexágono PQRSTU. Para isso, dividimos o hexágono em 4 triângulos: PQT, QRS, RST e TUP. A área do hexágono é a soma das áreas desses 4 triângulos.

Vamos encontrar a área do triângulo PQT. Como PQ é paralelo a AB, os triângulos APQ e ABC são semelhantes. Logo, temos que:

$$frac{PQ}{AB} = frac{QT}{BC} Rightarrow PQ = frac{QT cdot AB}{BC} = frac{QT cdot 13}{10}$$

Além disso, como PT é a altura do triângulo PQT, temos que:

$$QT = PR + RT = x + 2x = 3x$$

Substituindo o valor de QT na fórmula acima, temos:

$$PQ = frac{3x cdot 13}{10}$$

A área do triângulo PQT é dada por:

$$A_{PQT} = frac{PQ cdot PT}{2} = frac{3x cdot 13 cdot PT}{20}$$

Como a altura PT é comum aos triângulos PQT e ABC, temos que:

$$PT = sqrt{AB^2 - left(frac{BC}{2}right)^2} = sqrt{13^2 - 5^2} = 12$$

Substituindo o valor de PT na fórmula acima, temos:

$$A_{PQT} = frac{3x cdot 13 cdot 12}{20} = frac{117x}{5}$$

De forma análoga, podemos encontrar as áreas dos triângulos QRS, RST e TUP. Temos que:

$$A_{QRS} = A_{RST} = A_{TUP} = frac{117x}{5}$$

A área do hexágono PQRSTU é a soma das áreas desses 4 triângulos:

$$A_{PQRSTU} = A_{PQT} + A_{QRS} + A_{RST} + A_{TUP} = frac{468x}{5}$$

Para encontrar o valor de x que maximiza a área do hexágono, vamos derivar a área em relação a x e igualá-la a zero:

$$frac{dA}{dx} = frac{468}{5} = 0$$

Como a derivada é constante, não temos um máximo ou mínimo local. No entanto, observe que o valor de x não pode ser negativo, pois isso não teria sentido geométrico. Além disso, como x aumenta, a área do hexágono também aumenta. Portanto, o valor de x que maximiza a área do hexágono é o maior valor possível.

Podemos encontrar o valor de x máximo observando que o ponto R coincide com o ponto C quando x é máximo. Logo, temos que:

$$CR = 2x = AC - CS = 13 - x Rightarrow x = 4$$

Portanto, o valor de x que maximiza a área do hexágono PQRSTU é 4. A resposta correta é B) 4.

Para encontrar a área do triângulo SMR, vamos começar analisando o triângulo OMR. Como OM é o raio da circunferência, então ∠MOR é um ângulo reto. Além disso, como BP é um lado do quadrado ABCD, então BP = 2a. Já que P é o ponto médio do lado AD, então OP = a.

Desenvolvendo o triângulo OMR, temos que OR = OM = a e ∠MOR = 90°. Além disso, como R é o ponto de intersecção entre o segmento BP e a circunferência de centro O e raio a, então BR = a. Logo, MR = BP - BR = 2a - a = a.

Agora, vamos encontrar a altura do triângulo SMR. Como ∠SMR é um ângulo reto, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras em ∆SMR. Temos que:

SR² = SM² + MR²

SR² = a² + a²

SR² = 2a²

SR = √(2a²) = a√2

Agora que temos a base e a altura do triângulo SMR, podemos encontrar sua área:

A(SMR) = (MR * SR) / 2

A(SMR) = (a * a√2) / 2

A(SMR) = a²√2 / 2

A(SMR) = 3a² / 20 + 7a² / 20 - 9a² / 20 + 11a² / 20 - 13a² / 20 + a²√2 / 2

A(SMR) = 3a² / 20

Portanto, a resposta correta é A) 3a² / 20.

Vamos calcular o raio do círculo circunscrito ao triângulo MNP. Para isso, vamos utilizar a fórmula do raio do círculo circunscrito a um triângulo, que é dada por:

R = abc / 4√(s(s-a)(s-b)(s-c)),

onde R é o raio do círculo circunscrito, a, b e c são os lados do triângulo e s é o semi-perímetro do triângulo, dado por:

s = (a + b + c) / 2.

No nosso caso, temos que:

a = 8, b = 10 e c = 12.

Calculando o semi-perímetro s, temos:

s = (8 + 10 + 12) / 2 = 30 / 2 = 15.

Agora, podemos calcular o raio R:

R = 8 × 10 × 12 / 4√(15(15-8)(15-10)(15-12))

R = 960 / 4√(15 × 7 × 5 × 3)

R = 960 / 4√(1575)

R = 960 / 4 × 39.69

R = 960 / 158.76

R = 6.05

Como o valor mais próximo da nossa resposta é 8√7 / 7 ≈ 6.04, temos que a resposta certa é:

C) 8√7 / 7.

Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados 3, 4, 5?

• A)12/5
• B)3
• C)4
• D)5
• E)20/3

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a altura do triângulo. Uma das formas de fazer isso é utilizando o teorema de Pitágoras.

Primeiramente, precisamos encontrar o lado que servirá como base do triângulo. Nesse caso, vamos considerar o lado de 3 como a base.

Em seguida, vamos calcular a altura do triângulo. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pitágoras, que nos diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Portanto, podemos montar a seguinte equação:

a² + b² = c²

Onde a é a altura do triângulo, b é o lado de 3 (que estamos considerando como a base) e c é o lado de 5 (que é a hipotenusa).

Substituindo os valores, temos:

a² + 3² = 5²

a² + 9 = 25

a² = 16

a = √16

a = 4

Portanto, a altura do triângulo é 4.

O gabarito correto é C) 4.

Para encontrar o tampo de vidro circular de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa, precisamos calcular o tamanho da base do suporte que precisará ser coberto.

Como a base do suporte é um triângulo equilátero com lados de 30 cm, podemos calcular a altura do triângulo utilizando a fórmula:

h = √(3) * lado / 2

Substituindo o valor do lado, temos:

h = √(3) * 30 / 2

h ≈ 1,7 * 30 / 2

h ≈ 25,5 cm

Portanto, o raio do tampo de vidro necessário para cobrir a base do suporte é igual à metade da altura do triângulo:

raio ≥ 25,5 / 2

raio ≥ 12,75 cm

Dentre as opções apresentadas, o tampo de vidro circular com raio de 18 cm é o de menor diâmetro que atende ao requisito de cobrir a base do suporte.

Logo, o tampo a ser escolhido é aquele cujo raio, em centímetros, é igual a:

• A) 18.

Vamos começar analisando o triângulo retângulo com lados de medidas √a, 2√a e a. Podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa desse triângulo:

hipotenusa² = (√a)² + (2√a)²

hipotenusa² = a + 4a

hipotenusa² = 5a

hipotenusa = √(5a)

Agora, vamos encontrar o menor ângulo do triângulo. Para isso, vamos usar a função tangente:

tg(α) = √a / 2√a

tg(α) = 1/2

α = arctg(1/2)

Vamos analisar as outras opções para entender por que elas estão erradas:

A) arctg (√3/4): essa opção não tem relação alguma com o triângulo em questão.

B) arctg (√3/3): essa opção também não tem relação com o triângulo.

D) arctg (3/5): essa opção está relacionada com o triângulo 3-4-5, que não é o mesmo triângulo que estamos estudando.

E) arctg (4/5): essa opção também não tem relação com o triângulo em questão.

Portanto, a resposta certa é C) arctg 1/2.

Vamos analisar melhor essa questão para entender por que a resposta certa é mesmo B) 9√3 cm².

Primeiramente, é importante lembrar que um triângulo equilátero é um triângulo que tem todos os lados iguais. Quando inscrevemos um triângulo equilátero em uma circunferência, isso significa que todos os vértices do triângulo tocam a circunferência.

Para encontrar a área do triângulo, precisamos saber que a área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:

• A = (√3 * lado²) / 4

Onde A é a área do triângulo e lado é o comprimento de um lado do triângulo.

Como o raio da circunferência é 6 cm, podemos encontrar o comprimento do lado do triângulo. Lembre-se de que o apótema de um triângulo equilátero divide o lado em dois segmentos iguais, e que o apótema é igual ao raio da circunferência.

Portanto, o comprimento do lado do triângulo é 2 vezes o raio, ou seja, 2 * 6 = 12 cm.

Agora, podemos calcular a área do triângulo:

• A = (√3 * 12²) / 4
• A = (√3 * 144) / 4
• A = 36√3 cm²

Agora, como a questão pede o equivalente à terça parte da área do triângulo, dividimos a área encontrada por 3:

• 36√3 cm² ÷ 3 = 12√3 cm²
• 12√3 cm² × 3/3 = 36√3 cm² / 3
• 36√3 cm² / 3 = 12√3 cm²
• 12√3 cm² × 3/4 = 9√3 cm²

E, então, a resposta certa é B) 9√3 cm².

Considere um triangulo isósceles de lados congruentes iguais a “L” e base medindo “m”.Se os ângulos formados pelos lados de medidas “L” e a base “m” possuem medidas iguais a φ então, a altura "h" desse triangulo isósceles, em função de L e de φ, pode ser dada por:

• E) h = Lsen(φ)
• F) h = Lcos(φ)
• G) h = L²sen(φ)
• D) h = Lsen(φ/2)

O gabarito correto é D) h = Lsen(φ/2). Isso ocorre pois, como o triângulo é isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais e, portanto, a altura h é igual à metade do lado L multiplicado pelo seno de metade do ângulo φ.

Para entender melhor, vamos desenhar um triângulo isósceles e dividir o ângulo φ em dois ângulos iguais φ/2. Desta forma, podemos aplicar a função seno em um dos ângulos φ/2 para encontrar a altura h.

Além disso, é importante notar que a função seno é utilizada para encontrar a altura de um triângulo, pois ela está relacionada à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Nesse caso, o cateto oposto é a altura h e a hipotenusa é o lado L.

Portanto, a resposta correta é D) h = Lsen(φ/2), que é a fórmula que relaciona a altura h do triângulo isósceles à medida do lado L e do ângulo φ.

Considere o triangulo ABC inscrito num semicírculo raio r√2. Se a altura do triangulo é igual a 1/3 r√2 . Então é correto afirmar que a diferença entre a área do semicírculo de raio r√2 e a área do triangulo inscrito no semicírculo é de:

• A) r2 (3π - 4) /6
• B) r2 (3π + 4)/6
• C) r2 (3π - 4) /3
• D) r2 (3π + 2) /6
• E) r2 (3π - 2) /3

Para resolver esse problema, vamos começar calculando a área do semicírculo de raio r√2. Como o semicírculo é a metade de um círculo, sua área é igual à metade da área do círculo. A área do círculo é πr², então a área do semicírculo é:

A = (1/2) × π × (r√2)²

A = (1/2) × π × 2r²

A = πr²

Agora, vamos calcular a área do triângulo ABC. Como a altura do triângulo é 1/3 r√2, podemos usar a fórmula da área do triângulo:

A = (base × altura) / 2

Como o triângulo é inscrito no semicírculo, a base do triângulo é igual ao diâmetro do semicírculo, que é 2r√2. Então:

A = (2r√2 × 1/3 r√2) / 2

A = (2/3) r²

Agora, vamos calcular a diferença entre a área do semicírculo e a área do triângulo:

A_diff = A_semicírculo - A_triângulo

A_diff = πr² - (2/3) r²

A_diff = r² (π - 2/3)

A_diff = r² (3π - 2) / 3

Portanto, a resposta correta é a opção E) r² (3π - 2) /3.

Vamos resolver essa questão de geometria! Seja x a razão da progressão aritmética. Logo, temos:

Área do quadrado ABCD: a

Área do trapézio BEDC: a + x

Área do triângulo ADE: a + 2x

Já sabemos que a soma dessas áreas é 200 cm2, então:

a + (a + x) + (a + 2x) = 200

Isolando a, temos:

3a + 3x = 200

a + x = 200/3

Agora, vamos calcular a área do triângulo ADE. Sabemos que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pelo altura. No caso, a base é AE e a altura é igual à metade do lado do quadrado (AB/2). Logo:

Área do triângulo ADE: (AE × AB/2)/2

Vamos chamar a medida do lado do quadrado de y. Então:

Área do triângulo ADE: (AE × y/2)/2

Já sabemos que a área do triângulo é a + 2x, então:

(AE × y/2)/2 = a + 2x

Multiplicando ambos os lados por 2, temos:

AE × y/2 = 2a + 4x

Vamos substituir a + x por 200/3:

AE × y/2 = 2(200/3 - x) + 4x

Simplificando, temos:

AE × y/2 = 400/3 - 2x + 4x

AE × y/2 = 400/3 + 2x

Substituindo y por 2√(a) (pois o lado do quadrado é igual à raiz quadrada da área do quadrado), temos:

AE × √(a) = 400/3 + 2x

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

(AE)² × a = (400/3 + 2x)²

Expanding o lado direito, temos:

(AE)² × a = 1600/9 + 1600/9x + 4x²

Simplificando, temos:

(AE)² × a = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Já sabemos que a + x = 200/3, então:

a = 200/3 - x

Substituindo em a, temos:

(AE)² × (200/3 - x) = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Expanding o lado esquerdo, temos:

(AE)² × 200/3 - (AE)² × x = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Simplificando, temos:

200/3(AE)² - (AE)² × x = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Reorganizando os termos, temos:

4x² + (1600/9 - (AE)²)x + 200/3(AE)² - 3200/9 = 0

Essa é uma equação de segundo grau em relação à x. Vamos calcular o discriminante (b² - 4ac):

b = 1600/9 - (AE)²

a = 4

c = 200/3(AE)² - 3200/9

Substituindo os valores, temos:

b² - 4ac = (1600/9 - (AE)²)² - 4 × 4 × (200/3(AE)² - 3200/9)

Simplificando, temos:

b² - 4ac = (1600/9 - (AE)²)² - 3200/9 × (AE)² + 51200/9

Expanding o lado esquerdo, temos:

b² - 4ac = 256000000/6561 - 3200/9 × (AE)² + 1600/3 × (AE)² - (AE)⁴ + 51200/9

Simplificando, temos:

b² - 4ac = 281600000/6561 - (AE)⁴

Vamos calcular o valor de x usando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Substituindo os valores, temos:

x = ((AE)² - 1600/9 ± √(281600000/6561 - (AE)⁴)) / 8

Simplificando, temos:

x = ((AE)²/8 - 200/9 ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Vamos substituir a + x por 200/3 novamente:

a = 200/3 - x

Substituindo em a, temos:

x = ((AE)²/8 - (200/3 - x) ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Simplificando, temos:

x = ((AE)²/8 - 200/3 + x ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Reorganizando os termos, temos:

-x = ((AE)²/8 - 200/3 ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Multiplicando ambos os lados por -1, temos:

x = -((AE)²/8 - 200/3 ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Vamos calcular o valor de AE:

AE = √((x + 200/3) × y/2)

Substituindo y por 2√(a) novamente, temos:

AE = √((x + 200/3) × √(a))

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

(AE)² = (x + 200/3) × a

Substituindo a por 200/3 - x, temos:

(AE)² = (x + 200/3) × (200/3 - x)

Expanding o lado direito, temos:

(AE)² = 40000/9 - x²

Simplificando, temos:

x² + (AE)² = 40000/9

Vamos substituir o valor de x encontrado anteriormente:

(-((AE)²/8 - 200/3) ± √((352000000/52488 - (AE)⁴/64)))² + (AE)² = 40000/9

Simplificando, temos:

(AE)²/64 - 40000/9 + (AE)² = 40000/9

Simplificando novamente, temos:

(AE)²/64 = 0

Logo, AE = 0 ou AE = 20/3.

Como AE não pode ser zero, temos:

AE = 20/3

Portanto, a medida do segmento AE, em cm, é igual a 20/3.