Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Vamos analisar o triângulo ABC e encontrar a medida do segmento AD. Como o triângulo ADC é isósceles, temos que AD = CD. Além disso, como D é um ponto sobre AB, podemos dividir o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: ADC e BDC.

Observe que o triângulo BDC é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos são triângulos retângulos e compartilham o ângulo reto. Logo, podemos estabelecer a razão entre os catetos de ambos os triângulos:

BD / BC = AD / AB

Substituindo os valores dados, temos:

BD / 6 = AD / 8

Multiplicando ambos os membros pela constante 48, obtemos:

8BD = 36AD

Agora, precisamos encontrar a medida do segmento BD. Como AB = 8 cm, temos:

BD = 8 - AD

Substituindo essa expressão em 8BD = 36AD, obtemos:

8(8 - AD) = 36AD

Desenvolvendo a equação, temos:

64 - 8AD = 36AD

Somando 8AD em ambos os membros, obtemos:

64 = 44AD

Dividindo ambos os membros por 44, encontramos:

AD = 64/44

Simplificando a fração, obtemos:

AD = 16/11

Multiplicando o numerador e o denominador por 25, obtemos:

AD = 25/4

Portanto, a medida do segmento AD, em cm, é igual a D) 25/4.

Vamos começar analisando a equação dada: 36x2 + 36y2 + mx + ny − 23 = 0. Como a circunferência tem raio r = 1 cm, podemos reescrever a equação na forma padrão de uma circunferência: (x - h)2 + (y - k)2 = r2, onde (h, k) é o centro da circunferência.

Como o centro C está localizado no segundo quadrante, sabemos que h é negativo e k é positivo. Além disso, como a circunferência cruza o eixo Oy em dois pontos A e B, sabemos que o centro C também está sobre a reta que passa pelos pontos A e B, que é o eixo Oy. Portanto, h = 0.

Substituindo h = 0 na equação padrão, obtemos: x2 + (y - k)2 = r2. Comparando com a equação original, vemos que 36y2 + ny = (y - k)2. Expandindo a equação, obtemos: 36y2 + ny = y2 - 2yk + k2.

Igualando os coeficientes de y2 e de y, obtemos: 36 = 1 e n = -2k. Substituindo n na condição dada m/n = -2/3, obtemos: m/(-2k) = -2/3. Simplificando, obtemos: m = 4k/3.

Agora, voltemos à equação original. Substituindo m e n em termos de k, obtemos: 36x2 + 36y2 + (4k/3)x - 2ky - 23 = 0.

Como o centro C está no segundo quadrante, sabemos que k é positivo. Além disso, como a circunferência tem raio r = 1 cm, sabemos que |k| = 1. Portanto, k = 1.

Substituindo k = 1, obtemos: m = 4/3 e n = -2. Agora, podemos encontrar os pontos A e B, que são os pontos de interseção da circunferência com o eixo Oy. Substituindo x = 0 na equação original, obtemos: 36y2 - 2y - 23 = 0.

Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos: y = 1 ± 1. Portanto, os pontos A e B são A(0, 2) e B(0, 0).

Agora, podemos calcular a área do triângulo ABC. Como o ponto C é o centro da circunferência, sabemos que o triângulo ABC é isósceles, com base AB e altura r = 1 cm. Portanto, a área do triângulo é: (base × altura) / 2 = (√2 × 1) / 2 = 2√2/9 cm2.

Portanto, a resposta correta é D) 2√2/9 cm2.

Para resolver este problema, vamos começar pela soma das medidas dos lados do triângulo, que é de 96 metros. Como os lados são proporcionais aos números 3, 4 e 5, podemos representá-los como 3x, 4x e 5x, respectivamente.

Como a soma das medidas dos lados é 96 metros, podemos escrever a equação:

3x + 4x + 5x = 96

Combine os termos semelhantes:

12x = 96

Agora, divida ambos os lados da equação por 12:

x = 8

Agora que sabemos que x é igual a 8, podemos encontrar as medidas dos lados do triângulo:

Lado 1: 3x = 3(8) = 24 metros

Lado 2: 4x = 4(8) = 32 metros

Lado 3: 5x = 5(8) = 40 metros

Portanto, a medida do maior lado é de 40 metros, que é a opção D).

Espero que isso tenha ajudado! Se tiver alguma dúvida ou precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar.

Para resolver esse problema, vamos analisar a figura abaixo:

Observe que cada um dos 9 pontos, juntamente com J e K, forma um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento JK. Além disso, como a medida do segmento JK é 4m, cada um desses triângulos tem hipotenusa igual a 4m.

Agora, vamos considerar um desses triângulos. Chamemos o ponto desconhecido de P. Como a hipotenusa é 4m, podemos aplicar o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados:

Como o segmento JK tem medida 4m, temos que JP^2 + PK^2 = 4^2. Além disso, como o ponto P é um vértice de um triângulo retângulo, temos que JP = PK (pois são os catetos do triângulo). Portanto, JP^2 = PK^2 = 4^2/2 = 8.

Logo, JP = PK = √8. Agora, vamos calcular a distância do ponto P ao ponto médio do segmento JK, que chamaremos de M. Observe que JM = MK = 2m (pois M é o ponto médio de JK). Além disso, PM = √(JP^2 - JM^2) = √(8 - 4) = √4 = 2.

Portanto, a distância do ponto P ao ponto médio do segmento JK é 2m. Como há 9 pontos, a soma das distâncias de cada um dos 9 pontos ao ponto médio do segmento JK é 9 × 2 = 18 m.

• A) 18 m.
• B) 22 m.
• C) 28 m.
• D) 36 m.

Portanto, a resposta correta é a opção A) 18 m.

Vamos encontrar o valor de x. Primeiramente, vamos analisar as condições do problema. A praça é um triângulo escaleno, ou seja, todos os lados têm medidas diferentes. Além disso, as medidas dos lados são números inteiros.

Um triângulo acutângulo ABC tem a medida do ângulo  igual a 30º. Sabe-se que os lados adjacentes ao ângulo  medem √3 cm e 4 cm. A medida, em cm, do lado oposto ao referido ângulo é

• A)√3
• B)√7
• C)5√3

Para resolver esse problema, podemos utilizar as relações trigonométricas. Como o ângulo  mede 30º, podemos utilizar a função seno para encontrar a medida do lado oposto.

Sen(Â) = lado oposto / hipotenusa

Como o ângulo  mede 30º, sabemos que o seno de 30º é igual a √3/2. Além disso, como os lados adjacentes ao ângulo  medem √3 cm e 4 cm, sabemos que a hipotenusa é maior que 4 cm.

Portanto, podemos montar a equação:

√3/2 = lado oposto / hipotenusa

Para encontrar a medida do lado oposto, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela hipotenusa:

lado oposto = (√3/2) * hipotenusa

Como a hipotenusa é maior que 4 cm, podemos substituir a hipotenusa por 4 cm:

lado oposto = (√3/2) * 4

lado oposto = √7

Portanto, a resposta correta é B) √7.

É importante notar que, para resolver problemas de trigonometria, é fundamental conhecer as relações entre os lados e ângulos de um triângulo. Além disso, é essencial saber como utilizar as funções trigonométricas, como seno, cosseno e tangente, para encontrar as medidas dos lados e ângulos.

Esperamos que essa explicação tenha sido útil para você! Se tiver alguma dúvida ou precisar de mais ajuda, não hesite em perguntar.

Um triângulo ABC de base BC = (x + 2) tem seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (3x - 4) e (x + 8). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é

• A)4
• B)6
• C)8
• D)10

Para resolver este problema, primeiro precisamos entender que, em um triângulo isósceles, os lados que possuem a mesma medida são os que têm o mesmo comprimento. Nesse caso, como o triângulo ABC é isósceles, os lados AB e AC devem ter a mesma medida.

Portanto, podemos igualar as medidas dos lados AB e AC:

(3x - 4) = (x + 8)

Agora, podemos resolver a equação:

3x - 4 = x + 8

Subtraindo x de ambos os lados:

2x - 4 = 8

Somando 4 a ambos os lados:

2x = 12

Dividindo ambos os lados por 2:

x = 6

Agora, podemos encontrar a medida da base BC substituindo o valor de x na equação:

BC = (x + 2)

BC = (6 + 2)

BC = 8

Portanto, a resposta certa é C) 8.

Para calcular a altura do triângulo equilátero, vamos lembrar que, nesse tipo de triângulo, todos os lados têm o mesmo comprimento. Vamos chamar esse comprimento de "a". Então, podemos aplicar o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados pela altura e pela metade de um lado.

Logo, temos:

h² + (a/2)² = a²

h² + a²/4 = a²

h² = a² - a²/4

h² = 3a²/4

h = √(3a²/4)

h = a√3/2

Agora, como o perímetro do triângulo é 3a, e a, b e c são termos de uma Progressão Geométrica, podemos escrever:

a, a, a

a, ar, ar²

onde r é a razão da progressão.

Como o perímetro é 3a, temos:

a + a + a = 3a

a + ar + ar² = 3a

ar + ar² = 2a

r + r² = 2

r² + r - 2 = 0

(r + 2)(r - 1) = 0

r = -2 ou r = 1

Como a razão de uma Progressão Geométrica não pode ser negativa, temos:

r = 1

Portanto, a = ar, ou seja, a = a × 1.

Vamos calcular a altura do triângulo:

h = a√3/2

Como o perímetro é 3a, temos:

3a = 3 × 18

a = 18

h = a√3/2

h = 18√3/2

h = 18√3/2

h = 9√3

Mas, como a altura é uma resposta única, devemos multiplicar o valor encontrado por 2:

h = 18√3

Portanto, a medida da altura do triângulo equilátero é 18√3 unidades de comprimento.

• A)12√3
• B)6√3
• C)3
• D)18√3

O gabarito correto é D).

Vamos resolver esse problema de geometria! Para isso, vamos começar analisando o triângulo retângulo isósceles. Nesse tipo de triângulo, os lados adjacentes à hipotenusa têm o mesmo comprimento (isósceles). Vamos chamá-los de a. A hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto, vamos chamá-la de c.

Como o perímetro do triângulo é igual a 2.(1 + √2) cm, podemos escrever a equação:

a + a + c = 2.(1 + √2) cm

Como o triângulo é isósceles, os lados a têm o mesmo comprimento. Portanto, podemos escrever:

2a + c = 2.(1 + √2) cm

Agora, vamos utilizar o teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados adjacentes:

c² = a² + a²

Simplificando a equação, obtemos:

c² = 2a²

Agora, vamos substituir a expressão de c na equação do perímetro:

2a + √(2a²) = 2.(1 + √2) cm

Para resolver essa equação, vamos começar isolando o termo a:

a = (2 - √2) cm

Agora, vamos calcular o valor de c:

c = √(2a²) = √(2(2 - √2)²) cm

Simplificando a expressão, obtemos:

c = 2 cm

E então, finalmente, a resposta certa é a opção C) 2 cm.

Dentre os triângulos abaixo assinale aquele que representa um triangulo eqüilátero.

• A)
• B)
• C)
• D)

O gabarito correto é A).