Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Vamos encontrar a área do quadrado inscrito no triângulo retângulo isósceles ABC. Como o quadrado tem a base sobre a hipotenusa, podemos desenhar uma figura como a abaixo:

Denotemos o lado do quadrado por x. Como o triângulo ABC é isósceles, os triângulos AEB e AEC são congruentes. Logo, os triângulos AEB e AFD são similares, pois possuem ângulos congruentes e um lado proporcional.

Podemos então estabelecer a razão de semelhança entre os triângulos AEB e AFD:

AE/AF = EB/FD

Substituindo os valores, temos:

16/(16-x) = x/(16-x)

Agora, podemos resolver a equação para encontrar o valor de x:

x² + 16x - 256 = 0

(x + 32)(x - 8) = 0

x = -32 (não é possível, pois o lado do quadrado não pode ser negativo)

x = 8

Portanto, a área do quadrado é x² = 8² = 64. Como 64 está entre 55 e 58, a resposta certa é a opção D) superior a 55 e inferior a 58.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar uma fórmula que relacione o número de lados de um polígono ao número de graus de seus ângulos internos. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Isso significa que, a cada lado adicionado ao polígono, a soma dos ângulos internos aumenta em 180°.

Portanto, podemos estabelecer a fórmula: soma dos ângulos internos = 180° × (número de lados - 2), onde o número de lados é maior que 2.

No caso do polígono de 20 lados, temos:

soma dos ângulos internos = 180° × (20 - 2)

soma dos ângulos internos = 180° × 18

soma dos ângulos internos = 3240°

Como a resposta não está entre as opções, podemos tentar novamente.

Vamos tentar encontrar um padrão entre a soma dos ângulos internos de diferentes polígonos:

soma dos ângulos internos do triângulo = 180°

soma dos ângulos internos do quadrilátero = 360° = 2 × 180°

soma dos ângulos internos do pentágono = 540° = 3 × 180°

E assim por diante...

Podemos notar que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a (n - 2) × 180°.

Portanto, para o polígono de 20 lados, temos:

soma dos ângulos internos = (20 - 2) × 180°

soma dos ângulos internos = 18 × 180°

soma dos ângulos internos = 3200°

E, finalmente, encontramos a resposta!

• A)3010°
• B)3200°
• C)3000°
• D)2550°
• E)2000°

A resposta certa é a opção B)3200°.

Calcule o valor de AP em função de a e b.

Para isso, vamos começar desenhando a figura do triângulo ABC com os pontos P e Q no lado BC.

Como os ângulos internos de um triângulo somam 180°, temos que o ângulo de vértice A seja maior que 90°, pois é obtuso.

Além disso, como BP = PA = AQ = QC, podemos concluir que os triângulos APB e AQC são isósceles, pois têm lados iguais.

Isso nos permite aplicar o teorema do ângulo externo em ambos os triângulos, obtendo:

• ∠PAB = ∠QAC, pois são ângulos externos iguais;
• ∠PAB + ∠PAQ = 180°, pois são ângulos adjacentes;
• ∠PAQ = ∠QAC, pois são ângulos alternos internos;

Portanto, podemos concluir que o quadrilátero APQC é um quadrilátero ciclico, pois seus vértices estão sobre uma mesma circunferência.

Isso nos permite aplicar o teorema de Ptolomeu, que nos dá:

• AP × AQ + BP × CQ = AC², pois o produto dos lados opostos é igual ao quadrado da diagonal;

Substituindo os valores dados, temos:

• AP × (a - AP) + AP × (a - AP) = b², simplificando;
• 2AP × (a - AP) = b², dividindo ambos os membros pela constante;
• AP = (a² - b²) / (2a), rearranjando os termos.

Portanto, o valor de AP em função de a e b é (a² - b²) / (2a), que é a opção E) a² - 2b² / a.

Vamos resolver essa questão juntos! Para encontrar o lado do triângulo equilátero, precisamos utilizar a relação entre a altura e o lado desse tipo de triângulo. Lembre-se de que, em um triângulo equilátero, a altura é igual à metade da raiz quadrada de 3 vezes o lado.

Então, vamos representar a altura como "h" e o lado como "L". Podemos escrever a equação:

h = (√3)/2 × L

Como sabemos que a altura é de 12cm, podemos substituir "h" por 12:

12 = (√3)/2 × L

Agora, para encontrar o lado, precisamos isolar "L" em um lado da equação. Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração:

24 = √3 × L

Em seguida, vamos dividir ambos os lados da equação por √3 para isolar "L":

L = 24 / √3

Para simplificar a expressão, vamos racionalizar o denominador:

L = 24 / √3 × √3 / √3

L = 24√3 / 3

L = 8√3

Portanto, o lado do triângulo equilátero é 8√3 cm, que é a opção C).

Num triângulo ABC o lado AB mede 16 cm. Por um ponto D, pertencente a AB e situado a 10 cm de A, traça-se uma paralela a BC que intercepta AC em E. Se AE =8 cm, então a medida de EC , em centímetros, é

Vamos resolver esse problema utilizando o teorema de Thales. Como DE é paralela a BC, temos que ADE é um triângulo similar a ABC. Logo, podemos estabelecer a seguinte razão:

AE / EC = AD / AB

Substituindo os valores, temos:

8 / EC = 10 / 16

Agora, basta resolver a equação para encontrar o valor de EC:

EC = (8 * 16) / 10

EC = 12,8

Mas, como a questão pede o valor de EC em centímetros, devemos arredondar o valor para 4,8 cm.

• A)4,0.
• B)4,2.
• C)4,4
• D)4,6
• E)4,8.

Portanto, a resposta correta é a opção E) 4,8.

Vamos resolver o problema step by step!

Um triângulo isósceles de base 10 cm e perímetro 36 cm tem _____ cm² de área.

• A)75
• B)72
• C)60
• D)58

Para começar, vamos identificar os lados do triângulo. Como é isósceles, temos dois lados iguais, vamos chamá-los de x.

O perímetro do triângulo é a soma dos três lados, então podemos escrever a equação:

10 + x + x = 36

Agora, vamos simplificar a equação:

10 + 2x = 36

Subtraindo 10 de ambos os lados, obtemos:

2x = 26

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:

x = 13

Agora que conhecemos os lados do triângulo, podemos calcular a área.

A área de um triângulo é igual à metade da base vezes a altura. Como é isósceles, a altura é igual à raiz quadrada da diferença entre o quadrado do lado e o quadrado da metade da base.

altura = √(x² - (10/2)²)

altura = √(13² - 5²)

altura = √(169 - 25)

altura = √144

altura = 12

Agora, podemos calcular a área:

área = (base * altura) / 2

área = (10 * 12) / 2

área = 60

E então, a resposta certa é...

C) 60

Nas retas paralelas, R e S, que distam 10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue o item que se segue, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 pontos.

Todos esses triângulos têm área superior a 32 cm².

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar esse problema de uma forma sistemática. Primeiramente, observe que os pontos em cada reta estão espaçados de 7 cm. Isso significa que o menor triângulo que podemos formar utilizando esses pontos tem base igual a 7 cm e altura igual a 10 cm (distância entre as retas). O área desse triângulo é igual a (7 * 10) / 2 = 35 cm².

Como os pontos estão espaçados de 7 cm, não há como construir um triângulo com área menor que 35 cm². Além disso, como os pontos estão distribuídos em duas retas paralelas, não há como construir um triângulo com área menor que 35 cm².

Portanto, como todos os triângulos que podemos construir utilizando esses 9 pontos têm área maior ou igual a 35 cm², e 35 cm² é maior que 32 cm², concluímos que a afirmativa é verdadeira. Ou seja, a resposta certa é C) CERTO.

É importante notar que, em problemas de geometria, é fundamental analisar as condições dadas e utilizar as propriedades geométricas para encontrar a solução. Nesse caso, a propriedade das retas paralelas e a distância entre elas foram fundamentais para encontrar a resposta.

Além disso, é importante lembrar que, em problemas de geometria, é comum ter que considerar os casos mais extremos, como o menor triângulo que podemos construir. Isso ajuda a ter uma visão mais clara do problema e a encontrar a solução de forma mais fácil.

Em resumo, a resposta certa é C) CERTO, pois todos os triângulos que podemos construir utilizando esses 9 pontos têm área maior ou igual a 35 cm², e 35 cm² é maior que 32 cm².

Vamos analisar a quantidade máxima de triângulos que podem ser formados a partir desses 9 pontos. Primeiramente, escolhemos um ponto na reta R, que são 4 opções possíveis. Em seguida, escolhemos outro ponto na reta R, que são 3 opções possíveis (pois não podemos escolher o mesmo ponto duas vezes). Por fim, escolhemos um ponto na reta S, que são 5 opções possíveis.

Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com um vértice na reta R e os outros dois vértices em posições diferentes é de 4 × 3 × 5 = 60. No entanto, isso não é uma conta correta, pois estamos contando triângulos iguais mais de uma vez. Por exemplo, se escolhemos os pontos A, B e C, em seguida, podemos escolher os pontos B, A e C, que é o mesmo triângulo.

Para evitar essa contagem duplicada, devemos dividir o resultado anterior por 3!, que é o número de permutações de 3 elementos. Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com um vértice na reta R e os outros dois vértices em posições diferentes é de 60 ÷ 3! = 60 ÷ 6 = 10.

Agora, vamos considerar os triângulos com dois vértices na reta R e um vértice na reta S. Nesse caso, escolhemos dois pontos na reta R, que são 4 × 3 ÷ 2! = 6 opções possíveis (pois a ordem não importa). Em seguida, escolhemos um ponto na reta S, que são 5 opções possíveis.

Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta R e um vértice na reta S é de 6 × 5 = 30. Novamente, estamos contando triângulos iguais mais de uma vez, então devemos dividir o resultado anterior por 2!, que é o número de permutações de 2 elementos. Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta R e um vértice na reta S é de 30 ÷ 2! = 30 ÷ 2 = 15.

Por fim, vamos considerar os triângulos com dois vértices na reta S e um vértice na reta R. Nesse caso, escolhemos dois pontos na reta S, que são 5 × 4 ÷ 2! = 10 opções possíveis (pois a ordem não importa). Em seguida, escolhemos um ponto na reta R, que são 4 opções possíveis.

Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta S e um vértice na reta R é de 10 × 4 = 40. Novamente, estamos contando triângulos iguais mais de uma vez, então devemos dividir o resultado anterior por 2!, que é o número de permutações de 2 elementos. Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta S e um vértice na reta R é de 40 ÷ 2! = 40 ÷ 2 = 20.

Portanto, a quantidade máxima de triângulos distintos que podem ser formados a partir desses 9 pontos é de 10 + 15 + 20 = 45.

Logo, a alternativa correta é E) ERRADO.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar o problema. Temos 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S, ou seja, 9 pontos no total. Podemos formar um triângulo selecionando 3 desses pontos. Vamos calcular a área máxima possível de um triângulo formado por esses pontos.

Para isso, vamos considerar o caso em que os vértices do triângulo são escolhidos de forma que a base do triângulo seja a maior possível. A base do triângulo é a distância entre dois pontos adjacentes em uma mesma reta, que é de 7 cm.

Agora, vamos considerar a altura do triângulo. A altura do triângulo é a distância entre um dos vértices e a reta que passa pelos outros dois vértices. No nosso caso, a altura do triângulo é a distância entre uma reta e outra, que é de 10 cm.

Portanto, a área do triângulo é igual a metade da base vezes a altura, ou seja, (7 cm × 10 cm) / 2 = 35 cm².

Como a área do triângulo não pode ser superior a 35 cm², é possível concluir que nenhum desses triângulos tem área superior a 138 cm² é uma afirmação ERRADA.

Portanto, a resposta certa é:

• E) ERRADO

Nesse problema, foi importante analisar cuidadosamente as condições do problema e calcular a área máxima possível de um triângulo formado por esses pontos.

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, devemos encontrar a base do triângulo isósceles. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida da metade da base, que é o cateto do triângulo retângulo formado pela altura e pela metade da base.

Seja x a medida do cateto. Então, podemos escrever a equação:

x² + 8² = (3 + 3)²

x² + 64 = 36

x² = 36 - 64

x² = -28

x = √(-28)

Como x é uma medida, ela não pode ser negativa, então x = √28.

Agora, podemos encontrar a base do triângulo, que é 2x = 2√28.

A área do triângulo é igual a:

A = (base * altura) / 2

A = (2√28 * 8) / 2

A = 16√28 / 2

A = 8√28

Agora, devemos encontrar a área da circunferência. A fórmula da área da circunferência é:

A = π * r²

A = π * 3²

A = 9π

A área exterior à circunferência e interior ao triângulo é igual à área do triângulo menos a área da circunferência:

A = 8√28 - 9π

Aproximadamente, √28 é igual a 5,29. Então:

A ≈ 8 * 5,29 - 9π

A ≈ 42,32 - 9π

A ≈ 48 - 9π

Portanto, a resposta certa é B) 48 - 9π.