Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Dois reservatórios de água têm a mesma capacidade. O primeiro tem a forma de um cubo, cujas arestas internas medem 2,0 metros, e o segundo tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões internas, em metros, são: 4,0 de comprimento; 2,0 de largura e x de altura. A medida x, em metros, é

• A)1,50.
• B)2,50.
• C)1,00
• D)1,25.
• E)0,75.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a capacidade do primeiro reservatório e igualá-la à capacidade do segundo. A capacidade do primeiro reservatório é igual ao volume do cubo, que é calculado pela fórmula V = a³, onde a é a aresta do cubo. No caso, a aresta do cubo é de 2,0 metros, então a capacidade do primeiro reservatório é V = 2,0³ = 8,0 metros cúbicos.

Agora, precisamos calcular a capacidade do segundo reservatório. A capacidade do segundo reservatório é igual ao volume do paralelepípedo reto-retângulo, que é calculado pela fórmula V = l × c × a, onde l é o comprimento, c é a largura e a é a altura. No caso, o comprimento é de 4,0 metros, a largura é de 2,0 metros e a altura é x metros. Então, a capacidade do segundo reservatório é V = 4,0 × 2,0 × x = 8,0x metros cúbicos.

Como os dois reservatórios têm a mesma capacidade, podemos igualar as duas expressões:

V = 8,0 = 8,0x

Agora, podemos resolver a equação para x:

x = 8,0 / 8,0 = 1,00

Portanto, a medida x, em metros, é igual a 1,00. A resposta certa é a opção C)1,00.

Vamos resolver esse problema de geometria passo a passo. Se a soma das medidas de dois ângulos de um triângulo é 5/3 medida de um ângulo reto, e sabemos que um ângulo reto mede 90°, então a soma dos dois ângulos é igual a:

5/3 × 90° = 150°

Além disso, um desses dois ângulos mede 70° a mais do que o outro. Vamos chamar o menor ângulo de x. Então, o maior ângulo será x + 70°. A soma dos dois ângulos é igual a 150°, então podemos escrever a equação:

x + (x + 70°) = 150°

Para resolver essa equação, vamos combinar os termos semelhantes:

2x + 70° = 150°

Agora, vamos subtrair 70° de ambos os lados da equação:

2x = 80°

Finalmente, vamos dividir ambos os lados da equação por 2:

x = 40°

O menor ângulo é 40°, e o maior ângulo é 40° + 70° = 110°. Portanto, o maior ângulo desse triângulo mede 110°, que é a opção C).

Vamos resolver esse problema! Para encontrar o raio do círculo, precisamos encontrar a altura do triângulo isósceles. Como o triângulo é isósceles, seus lados são iguais. Vamos chamar a base do triângulo de b e a altura de h.

Como o triângulo é retângulo, podemos usar a fórmula da área do triângulo retângulo: A = (b × h) / 2. Sabemos que a área do triângulo é 12,5 cm², então:

12,5 = (b × h) / 2

Multiplicando ambos os lados pela constante 2, obtemos:

25 = b × h

Agora, vamos usar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. Como o triângulo é isósceles, o lado b é igual ao raio do círculo (r). Então:

r² = h² + (b/2)²

Substituindo b × h = 25 na equação acima, obtemos:

r² = h² + (25/h)²

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de h. Após algumas manipulações algébricas, obtemos:

h = 5

Substituindo h = 5 na equação r² = h² + (25/h)², obtemos:

r² = 5² + (25/5)²

r² = 25 + 25

r² = 50

r = √50

r = 5√2

Portanto, o raio do círculo é 5√2, que é a opção C.

Vamos analisar cada opção para entender por que a resposta certa é mesmo a C).

Opção A) Apenas dois lados são congruentes.

Isso não é verdade, pois num triângulo equilátero todos os lados têm medidas iguais.

Opção B) Os três lados têm medidas diferentes.

Também não é verdade, pois, como dissemos anteriormente, num triângulo equilátero todos os lados têm medidas iguais.

Opção C) Os três lados são congruentes.

Essa é a resposta certa! Num triângulo equilátero, todos os lados têm medidas iguais, portanto são congruentes.

Opção D) Um dos ângulos é sempre reto.

Isso não é verdade, pois num triângulo equilátero cada ângulo interno mede 60 graus. Nenhum deles é reto.

Portanto, a resposta certa é a opção C) Os três lados são congruentes.

É importante lembrar que num triângulo equilátero, além dos lados serem congruentes, os ângulos internos também são congruentes, ou seja, cada ângulo interno mede 60 graus.

Essa característica é única dos triângulos equiláteros e pode ser utilizada para resolver problemas e exercícios que envolvam essa figura geométrica.

Além disso, é importante lembrar que os triângulos equiláteros possuem simetria rotacional, ou seja, se você rotacionar o triângulo em 120 graus em torno de seu centro, ele permanecerá igual.

Essas propriedades fazem do triângulo equilátero uma figura geométrica interessante e importante em muitas áreas da matemática.

O triângulo equilátero é a figura geométrica que tem:

• A)os três lados com a mesma medida.
• B)somente dois lados com a mesma medida.
• C)todos os lados com medidas diferentes.
• D)um dos lados medindo a soma das medidas dos outros dois lados.

Essa figura geométrica é muito interessante, pois apresenta simetria em relação a qualquer um de seus lados. Além disso, o triângulo equilátero tem muitas aplicações práticas em diversas áreas, como arquitetura, engenharia e design.

Por exemplo, em uma construção, um triângulo equilátero pode ser usado como base para uma estrutura mais estável e resistente. Isso ocorre porque a distribuição de forças em um triângulo equilátero é mais uniforme, o que ajuda a reduzir a pressão em um único ponto.

Além disso, o triângulo equilátero também é importante em projetos de design, como em logotipos ou símbolos. Sua simetria e beleza estética o tornam atraente e fácil de lembrar.

No entanto, é importante notar que o triângulo equilátero não é o único tipo de triângulo que existe. Existem muitos outros, como o triângulo escaleno, o triângulo isósceles e o triângulo retângulo, cada um com suas próprias características e aplicações.

Em resumo, o triângulo equilátero é uma figura geométrica fascinante e útil, com muitas aplicações práticas e estéticas. Sua simetria e beleza o tornam um elemento importante em diferentes campos.

Vamos lá! Para resolver essa questão, é necessário lembrar que o perímetro do hexágono regular é igual a 6 vezes o lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. Isso porque o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros congruentes.

Portanto, precisamos encontrar o lado do triângulo equilátero. A área do triângulo equilátero é dada por:

A = (√3/4) * lado²

Como a área é de 18√3 cm², podemos igualar as expressões e resolver para o lado:

18√3 = (√3/4) * lado²

lado² = 72

lado = √72 = 6√2

Agora, podemos encontrar o perímetro do hexágono regular:

P = 6 * lado = 6 * 6√2 = 36√2 = 24√2 * 2 = 24√2

E, portanto, a resposta certa é a opção E) 24√2 cm.

Essa foi uma questão de geometria básica, mas que exigiu atenção aos detalhes e ao raciocínio lógico. Espero que tenha ajudado!

Vamos analisar as informações dadas no problema. Temos um triângulo equilátero, um quadrado e um pentágono regular, todos com lados de comprimento em cm dados por números inteiros. Além disso, sabemos que os perímetros dessas figuras são iguais.

Um triângulo equilátero é um triângulo com três lados de mesma medida. Portanto, o perímetro do triângulo é 3 vezes o comprimento de um lado.

Já um quadrado é um quadrilátero com quatro lados de mesma medida. Logo, o perímetro do quadrado é 4 vezes o comprimento de um lado.

Um pentágono regular é um polígono com cinco lados de mesma medida. Então, o perímetro do pentágono é 5 vezes o comprimento de um lado.

Como os perímetros das três figuras são iguais, podemos criar as seguintes equações:

3a = 4b = 5c

Onde a é o comprimento do lado do triângulo, b é o comprimento do lado do quadrado e c é o comprimento do lado do pentágono.

Como os lados têm comprimentos em cm dados por números inteiros, devemos encontrar os menores valores possíveis para a, b e c que satisfazem as equações acima.

Vamos começar analisando a equação 3a = 4b. Como a e b são números inteiros, podemos escrever b como 3k e a como 4k, onde k é um número inteiro.

Substituindo esses valores na equação 4b = 5c, obtemos:

4(3k) = 5c

c = 12k/5

Como c é um número inteiro, k deve ser um múltiplo de 5. Logo, k = 5m, onde m é um número inteiro.

Substituindo k = 5m nas expressões para a e b, obtemos:

a = 4(5m) = 20m

b = 3(5m) = 15m

c = 12(5m)/5 = 12m

O menor valor possível para m é 1, pois os lados devem ter comprimentos em cm dados por números inteiros.

Portanto, os menores valores possíveis para a, b e c são:

a = 20

b = 15

c = 12

O perímetro do triângulo é 3a = 3(20) = 60 cm.

Logo, o menor valor possível para o perímetro das figuras é A) 60 cm.

Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma face com 16 cm² de área, AE e BH são arestas e AG é uma diagonal do cubo.

Em relação a essa figura, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

BED é um triângulo equilátero.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Em seguida, considere o segmento de reta BH. Qual é o seu comprimento?

• A) 4 cm
• B) 8 cm
• C) 16 cm
• D) 2√2 cm

Observando a figura do cubo, é possível verificar que o segmento BH é uma aresta do cubo. Logo, sua medida é igual à aresta de um quadrado que tem área de 16 cm². Portanto, o comprimento da aresta BH é igual à raiz quadrada da área do quadrado, que é 4 cm.

Em seguida, considere a diagonal AG do cubo. Qual é o seu comprimento?

• A) 4√2 cm
• B) 4√3 cm
• C) 8 cm
• D) 8√2 cm

Para calcular o comprimento da diagonal AG do cubo, vamos utilizar o teorema de Pitágoras. Considerando o triângulo AEG, temos que:

AG² = AE² + EG²

Como AE é uma aresta do cubo, sua medida é 4 cm. Além disso, EG é uma aresta do cubo também, logo sua medida é 4 cm. Substituindo esses valores na equação acima, temos:

AG² = 4² + 4²

AG² = 16 + 16

AG² = 32

AG = √32

AG = 4√2 cm

Portanto, o comprimento da diagonal AG do cubo é 4√2 cm.

Agora, considere o triângulo ABE. Qual é o seu perímetro?

• A) 4 + 4 + 4√2 cm
• B) 4 + 4 + 4√3 cm
• C) 4 + 4 + 8 cm
• D) 4 + 4 + 8√2 cm

Para calcular o perímetro do triângulo ABE, vamos calcular o comprimento de cada lado. AE é uma aresta do cubo, logo sua medida é 4 cm. Além disso, BE é também uma aresta do cubo, logo sua medida é 4 cm. Já AB é uma diagonal da face ABCD do cubo, que é um quadrado de lado 4 cm. Logo, o comprimento de AB é igual à diagonal do quadrado, que é 4√2 cm. Portanto, o perímetro do triângulo ABE é:

4 + 4 + 4√2 cm

Portanto, o perímetro do triângulo ABE é 4 + 4 + 4√2 cm.

para resolver essa questão, é importante lembrar que um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais a 60 graus. Além disso, para encontrar o ponto O que seja equidistante de A, B e C, precisamos considerar a altura do triângulo.

Para encontrar a altura do triângulo, podemos utilizar a fórmula: Altura = Lado × sen(60º), onde Lado é o lado do triângulo. Substituindo o valor do lado (30 m), temos:

Altura = 30 × sen(60º) = 30 × (√3/2) = 15√3 metros

Agora, como o ponto O é equidistante de A, B e C, deve estar localizado a uma distância igual da altura do triângulo de cada vértice. Portanto, a resposta certa é:

• B) 10 m do ponto B.

Isso ocorre porque a distância do ponto O ao vértice B é igual à altura do triângulo, que é de 10√3 metros. Como os lados do triângulo são iguais, a distância do ponto O aos vértices A e C também é de 10√3 metros.

As outras opções estão incorretas, pois:

• A) 5 m do ponto A é uma distância menor que a altura do triângulo.
• C) 30 m do ponto C é uma distância maior que o lado do triângulo.
• D) 15 m do ponto A é uma distância maior que a altura do triângulo.
• E) (7,5) m do ponto A não é uma distância que satisfaça a equidistância do ponto O aos vértices.

Portanto, a resposta certa é B) 10 m do ponto B.

Sabendo-se que a razao dos angulos de um triangulo e 1:2:3, o menor ângulo desse triângulo, medido em graus, e:

• A)38
• B)30
• C)33
• D)35
• E)40

Vamos resolver esse problema de geometria! Para encontrar o menor ângulo do triângulo, precisamos primeiro encontrar a soma dos ângulos internos do triângulo. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 graus.

Como a razão dos ângulos é 1:2:3, podemos supor que os ângulos sejam x, 2x e 3x. Portanto, a soma dos ângulos é x + 2x + 3x = 180.

Agora, vamos resolver para x: x + 2x + 3x = 180 6x = 180 x = 30

Como x é o menor ângulo, o valor correto é 30 graus. Portanto, a resposta certa é a opção B)30.

É importante lembrar que, em problemas de geometria, é fundamental entender as relações entre os ângulos e as razões entre eles. Isso pode ajudar a resolver problemas mais complexos e a encontrar as respostas certas.

Além disso, é importante praticar e exercitar a resolução de problemas de geometria para melhorar a compreensão e a habilidade em resolver esses tipos de problemas.

Esperamos que essa explicação tenha ajudado a entender como resolver o problema e a encontrar a resposta certa. Se tiver alguma dúvida ou precisar de mais ajuda, basta perguntar!