Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Vamos calcular a área e o perímetro do triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Para calcular a área, podemos utilizar a fórmula:

A = (base * altura) / 2

Primeiramente, vamos encontrar a base do triângulo. A base é o segmento de reta que liga os pontos B e C. A distância entre esses pontos é:

BC = √((xB - xC)^2 + (yB - yC)^2)

BC = √((3 - 7)^2 + (2 - 2)^2)

BC = √((-4)^2 + 0^2)

BC = √(16 + 0)

BC = √16

BC = 4

Agora, precisamos encontrar a altura do triângulo. A altura é a distância entre o ponto A e a base BC. Podemos encontrar essa distância utilizando a fórmula:

h = √((xA - xB)^2 + (yA - yB)^2)

h = √((7 - 3)^2 + (5 - 2)^2)

h = √((4)^2 + (3)^2)

h = √(16 + 9)

h = √25

h = 5

Agora que temos a base e a altura, podemos calcular a área do triângulo:

A = (BC * h) / 2

A = (4 * 5) / 2

A = 20 / 2

A = 10

O perímetro do triângulo é a soma das distâncias entre os pontos A, B e C. Podemos calcular essas distâncias utilizando a fórmula:

P = AB + BC + AC

P = √((xA - xB)^2 + (yA - yB)^2) + BC + √((xA - xC)^2 + (yA - yC)^2)

P = √((7 - 3)^2 + (5 - 2)^2) + 4 + √((7 - 7)^2 + (5 - 2)^2)

P = √((4)^2 + (3)^2) + 4 + √((0)^2 + (3)^2)

P = √(16 + 9) + 4 + √(0 + 9)

P = √25 + 4 + √9

P = 5 + 4 + 3

P = 12

Portanto, a área do triângulo é 6 e o perímetro é 12. O gabarito correto é, de fato, D) 6 e 12.

Vamos analisar cada uma das afirmativas:

1. A mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice desse triângulo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.
Essa afirmativa é verdadeira, pois a definição de mediana de um triângulo é exatamente essa.

2. As diagonais de um paralelogramo têm o mesmo comprimento.
Essa afirmativa é falsa, pois as diagonais de um paralelogramo não necessariamente têm o mesmo comprimento.

3. Em um triângulo cujos lados têm medidas iguais a x, y e z, vale a desigualdade x + y ≥ z.
Essa afirmativa é verdadeira, pois é uma propriedade dos triângulos, conhecida como desigualdade triangular.

Portanto, a alternativa correta é:

• A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. → Falso, pois a afirmativa 3 também é verdadeira.
• B) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. → Falso, pois a afirmativa 1 também é verdadeira.
• C) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. → Falso, pois a afirmativa 2 é falsa.
• D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. → Verdadeiro, pois as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras, e a afirmativa 2 é falsa.
• E) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. → Falso, pois a afirmativa 2 é falsa.

A resposta certa é D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

Vamos resolver isso! O comandante organizou seus 300 soldados para formar um triângulo. Colocou um soldado na primeira linha, dois na segunda linha, três na terceira, e assim por diante.

Para encontrar o número de linhas do triângulo, podemos usar a fórmula da soma dos números naturais:

S = n * (n + 1) / 2

Onde S é o número de soldados e n é o número de linhas.

Como S = 300, podemos reorganizar a fórmula para encontrar n:

300 = n * (n + 1) / 2

Multiplicando ambos os lados pela 2, temos:

600 = n * (n + 1)

Agora, vamos reorganizar a equação para encontrar n:

n^2 + n - 600 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos:

n = -24 ou n = 24

Como não pode haver um número negativo de linhas, a resposta certa é:

n = 24

Portanto, o gabarito correto é D) 24.

Vamos resolver esse problema de geometria!

Primeiramente, é importante lembrar que em um triângulo eqüilátero, todos os lados têm o mesmo comprimento. Além disso, os ângulos internos desse triângulo também são iguais, cada um medindo 60 graus.

Agora, vamos analisar o círculo inscrito nesse triângulo. O centro desse círculo coincide com o centro do triângulo, e seu raio é igual à altura do triângulo dividida por 3 (r = h/3). Já o círculo circunscrito tem seu centro no centro do triângulo, e seu raio é igual ao lado do triângulo (R = a).

Para calcular a razão entre as áreas dos círculos, precisamos calcular primeiramente as áreas de cada um deles. A área do círculo inscrito é igual a pi*r^2, e a área do círculo circunscrito é igual a pi*R^2.

Agora, vamos substituir os valores de r e R em função do lado do triângulo (a). Como r = h/3 e h = a*√3/2 (altura de um triângulo eqüilátero), temos que r = a*√3/6. Já R = a.

Substituindo esses valores na fórmula da área, temos:

• A área do círculo inscrito é igual a pi*(a*√3/6)^2 = pi*a^2/12.
• A área do círculo circunscrito é igual a pi*a^2.

Agora, podemos calcular a razão entre as áreas dos círculos:

Razão = (pi*a^2/12) / (pi*a^2) = 1/12.

Como a razão pedida é entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito, e não o inverso, temos que:

Razão = 1 / (1/12) = 1/9.

Portanto, a resposta certa é a opção D) 1/9.

Durante a aula, uma professora pede que os alunos façam recortes de papel em formatos triangulares. Os triângulos devem ser triângulos retângulos pitagóricos, a hipotenusa deve medir 13 cm, e um dos catetos deve medir 12 cm. Dessa forma, qual será a área desses recortes triangulares?

• A)30 mm2
• B)30 cm2
• C)30 m2
• D)17 cm2
• E)25 cm2

Para resolver esse problema, vamos utilizar o teorema de Pitágoras, que nos permite calcular a medida do outro cateto. Sabemos que a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 12 cm, então podemos montar a seguinte equação:

a² + 12² = 13²

Resolvendo a equação, encontramos que o outro cateto mede 5 cm. Agora, podemos calcular a área do triângulo utilizando a fórmula:

Área = (base × altura) / 2

Substituindo os valores, temos:

Área = (12 × 5) / 2

Área = 60 / 2

Área = 30 cm²

Portanto, a resposta correta é a opção B) 30 cm².