Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

A área do triângulo retângulo de lados 1, 3dm, 0,05m e 0,012dam é

• A) 28cm²
• B) 30cm²
• C) 32cm²
• D) 33cm²
• E) 34cm²

Para resolver esse problema, precisamos lembrar da fórmula da área do triângulo retângulo, que é dada por:

A = (base × altura) / 2

No caso desse triângulo, temos:

• Base = 0,05m = 5cm (convertendo metros para centímetros)
• Altura = 0,012dam = 1,2cm (convertendo decímetros para centímetros)

Substituindo os valores na fórmula, temos:

A = (5cm × 1,2cm) / 2

A = 6cm² / 2

A = 3cm²

Mas, como precisamos encontrar a área em cm², precisamos multiplicar o resultado por 10 (pois 1dm = 10cm):

A = 3cm² × 10

A = 30cm²

Portanto, o gabarito correto é mesmo a opção B) 30cm².

Observação: é importante lembrar que, quando estamos trabalhando com unidades de medida, é fundamental realizar as conversões corretas para evitar erros nos cálculos.

Além disso, é fundamental ter atenção ao fato de que, em problemas de geometria, a unidade de medida utilizada pode influenciar no resultado final.

Em resumo, para resolver problemas de geometria, é fundamental ter conhecimento das fórmulas e conceitos básicos, além de ter atenção às unidades de medida utilizadas.

Para resolver esse problema, vamos utilizar o teorema de Pitágoras, que nos permite calcular o lado oposto ao ângulo reto (BC) do triângulo retângulo ABC. O teorema de Pitágoras é dado pela fórmula:

a² + b² = c²

onde a é o lado AB, b é o lado AC e c é o lado BC (o lado oposto ao ângulo reto).

Substituindo os valores dados, temos:

12² + 5² = BC²

144 + 25 = BC²

169 = BC²

Agora, para encontrar o valor de BC, basta calcular a raiz quadrada de 169:

BC = √169 = 13 cm

O perímetro do triângulo é a soma dos lados, então:

P = AB + AC + BC

P = 12 + 5 + 13

P = 30 cm

Portanto, o perímetro do triângulo ABC é de 30 cm.

A resposta certa é a opção B) 30.

Considere o triângulo cujos lados estão sobre as retas y = 0, x + 2y = 6 e x - y = 2. Qual é a área do triângulo?



Para resolver esse problema, precisamos encontrar os vértices do triângulo. Podemos começar encontrando o ponto de interseção entre as retas x + 2y = 6 e x - y = 2. Isso pode ser feito resolvendo o sistema de equações:

x + 2y = 6
x - y = 2

Podemos adicionar as duas equações para eliminar a variável x:
3y = 8
y = 8/3

Agora, substituindo y = 8/3 na equação x - y = 2, podemos encontrar x:
x - 8/3 = 2
x = 14/3

Portanto, o ponto de interseção entre as retas x + 2y = 6 e x - y = 2 é (14/3, 8/3).

O outro vértice do triângulo é o ponto de interseção entre as retas y = 0 e x + 2y = 6. Substituindo y = 0 na equação x + 2y = 6, obtemos:
x + 2(0) = 6
x = 6

Portanto, o outro vértice do triângulo é (6, 0).

O último vértice do triângulo é o ponto de interseção entre as retas y = 0 e x - y = 2. Substituindo y = 0 na equação x - y = 2, obtemos:
x - 0 = 2
x = 2

Portanto, o último vértice do triângulo é (2, 0).

Agora que temos os vértices do triângulo, podemos calcular sua área. A fórmula para a área de um triângulo é:
Área = (base * altura) / 2

No caso, a base do triângulo é 4 (distância entre (2, 0) e (6, 0)) e a altura é 8/3 (distância entre (14/3, 8/3) e (2, 0)). Portanto:
Área = (4 * 8/3) / 2
Área = 32/6
Área = 8/3

Portanto, a área do triângulo é 8/3.

• A)1/3
• B)1
• C)8/3
• D)3
• E)10/3

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, precisamos lembrar que a bissetriz do ângulo ABC divide o ângulo em dois ângulos congruentes, ou seja, dois ângulos de mesmo medida. Além disso, como o triângulo é retângulo em A, o ângulo ABC é um ângulo reto (90 graus).

Em seguida, desenhamos o triângulo ABC com a bissetriz BD:

Observamos que o triângulo ABD é um triângulo retângulo em A, e o triângulo CBD também é um triângulo retângulo em C. Além disso, como o ângulo ABC é reto, os ângulos ABD e CBD são ângulos agudos.

Podemos aplicar o teorema do seno nos triângulos ABD e CBD. No triângulo ABD, temos:

sen(Ângulo BAD) = BD / AB

Já no triângulo CBD, temos:

sen(Ângulo CBD) = BD / AC

Como o ângulo BAD é igual ao ângulo CBD (pois são ângulos congruentes), podemos igualar as duas expressões acima:

BD / AB = BD / AC

Podemos cancelar BD em ambos os lados da equação:

1 / AB = 1 / AC

Agora, podemos substituir os valores de AB e AC:

1 / 21 = 1 / 20

Para resolver essa equação, podemos invertê-la:

AB / 1 = AC / 1

21 = 20 / x

Multiplicamos ambos os lados por x:

21x = 20

Dividimos ambos os lados por 21:

x = 20 / 21

Portanto, a bissetriz BD é igual a 20/21 de AB. Como AB é igual a 21, temos:

BD = (20/21) × 21

BD = 42/5

Logo, a resposta certa é A) 42/5.

• A) 42/5
• B) 21/20
• C) 20/21
• D) 9
• E) 8

Na figura, o triângulo A B C é equilátero de lado 1, e A C D E , A F G B e B H I C são quadrados. A área do poligono D E F G H I vale

• E) 3 + 3√3

Para calcular a área do polígono D E F G H I, podemos dividir o polígono em várias partes. Começamos notando que os quadrados A C D E, A F G B e B H I C têm lado igual a 1. Isso significa que a área de cada quadrado é igual a 1² = 1.

Observe que o polígono D E F G H I é composto por três quadrados (A C D E, A F G B e B H I C) e três triângulos isósceles (C D E, F G B e H I C). Cada triângulo isósceles tem base igual a 1 e altura igual a √3/2 (pois o lado do triângulo equilátero A B C é 1).

A área de cada triângulo isóscele é igual a (base × altura) / 2 = (1 × √3/2) / 2 = √3/4. Como há três triângulos, a área total dos triângulos é igual a 3 × √3/4 = 3√3/4.

Portanto, a área do polígono D E F G H I é igual à soma da área dos três quadrados e dos três triângulos isósceles: 3 (área dos quadrados) + 3√3/4 (área dos triângulos) = 3 + 3√3/4 = 3 + 3√3.

Um triângulo possui as seguintes medidas de seus lados: 3, 12 e 14. Este triângulo possui

• A)três ângulos obtusos.
• B)três ângulos agudos.
• C)um ângulo obtuso.
• D)um ângulo agudo.
• E)um ângulo reto.

Vamos analisar as medidas dos lados do triângulo para determinar a resposta certa. Lembre-se de que em um triângulo, a soma dos quadrados dos lados é igual ao dobro do quadrado da hipotenusa. No nosso caso, temos:

hipotenusa² = 12² + 3² = 144 + 9 = 153

Portanto, a hipotenusa é igual a √153, que é aproximadamente igual a 12,37.

Como o lado de 14 é maior que a hipotenusa, isso significa que o ângulo oposto a este lado é obtuso.

Logo, a resposta certa é a opção C) um ângulo obtuso.

É importante notar que, se tivéssemos um triângulo com lados de 3, 4 e 5, por exemplo, todos os ângulos seriam agudos. Já um triângulo com lados de 3, 12 e 15 teria um ângulo reto.

Mas, no nosso caso, com lados de 3, 12 e 14, temos um ângulo obtuso.

Portanto, é fundamental analisar as medidas dos lados de um triângulo para determinar a natureza dos ângulos.

Um triângulo tem as seguintes medidas de seus lados, em ordem crescente: 15, 20 e x. Sabendo que um dos ângulos deste triângulo mede meio ângulo raso, qual o valor de x ?

• A)50
• B)45
• C)35
• D)30
• E)25

Para resolver esse problema, vamos começar analisando a informação dada: um dos ângulos do triângulo mede meio ângulo raso. Isso significa que o ângulo em questão mede 45 graus, pois meio ângulo raso é igual a 45 graus.

Agora, vamos utilizar o teorema de Pitágoras, que estabelece que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No nosso caso, o triângulo é retângulo, pois tem um ângulo de 45 graus.

Seja x a hipotenusa do triângulo. Então, podemos aplicar o teorema de Pitágoras da seguinte maneira:

x² = 15² + 20²

x² = 225 + 400

x² = 625

x = √625

x = 25

Portanto, a resposta certa é E) 25.

Vamos resolver o problema! Como os dois triângulos são semelhantes, sabemos que a razão entre os perímetros é igual à razão entre os lados. Portanto, podemos montar a seguinte proporção:

44 / 17,6 = x / 9

Onde x é o menor lado do menor triângulo. Para resolver, podemos multiplicar ambos os lados da equação por 9:

44 × 9 / 17,6 = x

Agora, vamos calcular o valor de x:

x = 44 × 9 / 17,6

x = 22 × 9 / 17,6

x = 198 / 17,6

x = 11,25 × 1

x = 3,6 cm

Portanto, o menor lado do menor triângulo mede 3,6 cm. A resposta certa é A) 3,6 cm.

Vamos analisar essa situação hipotética e encontrar a resposta certa. Primeiramente, é importante notar que o suspeito disse que as distâncias do ponto onde enterrou a arma à sua casa, à delegacia e ao fórum são iguais. Isso significa que o ponto onde ele enterrou a arma é equidistante desses três locais.

Para encontrar o local exato, vamos utilizar conhecimentos de geometria. Como a cidade é plana, podemos representar os locais como pontos no plano. Além disso, como os ângulos internos do triângulo formado pela casa do suspeito, a delegacia e o fórum são todos agudos, sabemos que o triângulo é escaleno (ou seja, todos os lados têm comprimentos diferentes).

Agora, vamos analisar as opções de resposta. A opção A) sugere que o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo é o local onde a arma foi enterrada. Uma mediatriz é uma linha que passa pelo meio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele. O ponto de encontro das mediatrizes é chamado de circuncentro do triângulo.

Já a opção B) sugere que o ponto onde a arma foi enterrada está em um ponto externo ao triângulo. No entanto, como o suspeito disse que as distâncias do ponto à sua casa, à delegacia e ao fórum são iguais, sabemos que o ponto deve estar dentro do triângulo.

As opções C), D) e E) também não são válidas. O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo não é o local onde a arma foi enterrada, pois essas bissetrizes não precisam ser necessariamente perpendiculares aos lados do triângulo. Além disso, o ponto de encontro das medianas do triângulo não é o local certo, pois as medianas não precisam ser necessariamente perpendiculares aos lados do triângulo. Por fim, o ponto de encontro das alturas do triângulo também não é o local onde a arma foi enterrada, pois as alturas não precisam ser necessariamente perpendiculares aos lados do triângulo.

Portanto, a resposta certa é A) o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. É importante notar que o circuncentro do triângulo é o único ponto que é equidistante dos três vértices do triângulo, o que é exatamente o que o suspeito disse.

Vamos calcular a área do triângulo isósceles. Como os lados iguais medem 4, cada um deles pode ser considerado como a hipotenusa de um triângulo retângulo com ângulo de 45º. Isso significa que a altura desse triângulo retângulo é igual a metade do lado, ou seja, 2.

Como a área do triângulo isósceles é igual à metade da base vezes a altura, podemos calcular a área como:

A = (b × h) / 2

onde b é a base do triângulo isósceles (que é igual a 4, pois é um lado do triângulo) e h é a altura (que é igual a 2, como calculado anteriormente).

Substituindo os valores, obtemos:

A = (4 × 2) / 2

A = 8

Portanto, a área do triângulo isósceles é de 8 unidades de área.

Isso significa que a resposta correta é a opção B) 8 u.a.

• A) 4 u.a.
• B) 8 u.a.
• C) 12 u.a.
• D) 16 u.a.
• E) 20 u.a.