Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Vamos analisar cada opção para descobrir qual é a afirmativa correta.

A) Existe um triângulo com um único ângulo interno agudo.

Isso não é verdade. Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180 graus. Se um triângulo tiver um único ângulo agudo, os outros dois ângulos seriam obtusos, o que não é possível.

B) Se o perímetro de um círculo é igual a √πcm, então sua área é igual a 1⁄4 cm².

Essa é a afirmativa correta! Se o perímetro do círculo é igual a √πcm, então seu raio é igual a 1/2 cm (pois o perímetro de um círculo é igual a 2πr, onde r é o raio). E a área do círculo é igual a πr², que, nesse caso, é igual a 1⁄4 cm².

C) Se um triângulo retângulo está inscrito em um círculo, então o centro do círculo é um ponto interior ao triângulo.

Isso não é verdade. Se um triângulo retângulo está inscrito em um círculo, o centro do círculo é o ponto de interseção da altura do triângulo com a hipotenusa.

D) Em qualquer retângulo, a soma dos quadrados das medidas de suas duas diagonais é diferente da soma dos quadrados das medidas dos seus quatro lados.

Isso não é verdade. Em um retângulo, as diagonais são congruentes e a soma dos quadrados das medidas de suas diagonais é igual à soma dos quadrados das medidas dos seus quatro lados.

Portanto, a afirmativa correta é a B) Se o perímetro de um círculo é igual a √πcm, então sua área é igual a 1⁄4 cm².

Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será

• E) k/3

Isso porque, no triângulo acutângulo não equilátero, a distância entre o ortocentro e o circuncentro é igual à distância entre o ortocentro e o incentro, que é igual à metade da distância entre o circuncentro e o baricentro. Logo, se a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', a distância entre o circuncentro e o baricentro é 2k, e portanto a distância entre o circuncentro e o baricentro é k/3.

O conceito de ortocentro, circuncentro e baricentro é fundamental em geometria, pois esses pontos notáveis permitem resolver problemas de distâncias e ângulos em triângulos. Além disso, a relação entre esses pontos notáveis é muito importante para a resolução de problemas de geometria.

No caso do triângulo acutângulo não equilátero, a relação entre o ortocentro, o circuncentro e o baricentro é muito útil para resolver problemas de distâncias e ângulos. Por exemplo, se você sabe a distância entre o ortocentro e o circuncentro, você pode facilmente calcular a distância entre o circuncentro e o baricentro, e vice-versa.

Além disso, é importante notar que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é sempre igual à distância entre o ortocentro e o incentro, o que faz com que a relação entre esses pontos notáveis seja muito útil para resolver problemas de geometria.

Em resumo, a distância entre o circuncentro e o baricentro em um triângulo acutângulo não equilátero é k/3, e essa relação é fundamental para resolver problemas de geometria envolvendo esses pontos notáveis.

Vamos analisar o triângulo APB. Como o ângulo APB é igual a 60⁰, temos que o triângulo APB é isósceles, pois os ângulos base de um triângulo isósceles são iguais. Logo, PA = PB. Além disso, como PB intersecta AC em Q, temos que o triângulo APQ é também isósceles, pois PA = PQ.

Como PA = 6 e PC = 8, podemos calcular PB. Como PA = PB e PC = PA + PQ, temos que PB = PC - PQ. Substituindo os valores, obtemos:

PB = 8 - PQ

Agora, vamos analisar o triângulo APB novamente. Como PA = PB e o ângulo APB é igual a 60⁰, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo APB.

Sen(60⁰) = PB / AB

Como sen(60⁰) = √3 / 2, temos:

√3 / 2 = PB / AB

Como PB = 8 - PQ, podemos substituir:

√3 / 2 = (8 - PQ) / AB

Agora, vamos analisar o triângulo ABC. Como ABC é um triângulo equilátero, temos que AB = AC = BC.

Além disso, como Q está entre A e C, temos que AQ + QC = AC.

Como AQ = PQ e QC = BQ, temos que PQ + BQ = AC.

Substituindo AC por AB, temos:

PQ + BQ = AB

Agora, podemos substituir AB na equação anterior:

√3 / 2 = (8 - PQ) / (PQ + BQ)

Agora, vamos resolver a equação para encontrar PQ.

√3 / 2 = (8 - PQ) / (PQ + BQ)

Multiplicando ambos os lados por 2, temos:

√3 = (16 - 2PQ) / (PQ + BQ)

Multiplicando ambos os lados por (PQ + BQ), temos:

√3(PQ + BQ) = 16 - 2PQ

Expandido, temos:

√3PQ + √3BQ = 16 - 2PQ

Agrupando os termos com PQ, temos:

(√3 + 2)PQ = 16 - √3BQ

Dividindo ambos os lados por (√3 + 2), temos:

PQ = (16 - √3BQ) / (√3 + 2)

Agora, vamos calcular BQ. Como BQ = AB - AQ e AQ = PQ, temos:

BQ = AB - PQ

Substituindo AB por BC, temos:

BQ = BC - PQ

Como ABC é um triângulo equilátero, temos que BC = AB.

Logo, BQ = AB - PQ

Substituindo AB por 6, temos:

BQ = 6 - PQ

Agora, vamos substituir BQ na equação anterior:

PQ = (16 - √3(6 - PQ)) / (√3 + 2)

Simplificando, temos:

PQ = 24 / 7

Portanto, a medida de PQ é 24/7.

Resposta: A) 24 / 7

Vamos começar analisando o triângulo ABC. Sabemos que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura. Como não sabemos qual é a altura do triângulo, vamos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a altura.

Primeiramente, vamos calcular a altura do triângulo ABC. Vamos utilizar o lado AC como base e calcular a altura utilizando o teorema de Pitágoras:

AB² = AC² + h²
15² = 12² + h²
h² = 225 - 144
h² = 81
h = 9

Agora que sabemos a altura do triângulo, podemos calcular sua área:

Área(ABC) = (AC * h) / 2
Área(ABC) = (12 * 9) / 2
Área(ABC) = 108 / 2
Área(ABC) = 54

Agora, vamos analisar o quadrilátero APQB. Sabemos que a área do quadrilátero APQB é igual à área do triângulo PQC. Vamos calcular a área do triângulo PQC:

Área(PQC) = (PC * h) / 2
Área(PQC) = (3 * h) / 2
Área(PQC) = (3 * 9) / 2
Área(PQC) = 27 / 2
Área(PQC) = 13,5

Como a área do quadrilátero APQB é igual à área do triângulo PQC, podemos calcular a área do quadrilátero APQB:

Área(APQB) = Área(PQC)
Área(APQB) = 13,5

Agora, vamos calcular a área do triângulo ABQ:

Área(ABQ) = Área(ABC) - Área(APQB)
Área(ABQ) = 54 - 13,5
Área(ABQ) = 40,5

Como a área do triângulo ABQ é igual à metade do produto da base pela altura, podemos calcular a altura do triângulo ABQ:

Área(ABQ) = (BQ * h) / 2
40,5 = (BQ * 9) / 2
BQ = 9

Portanto, o valor de BQ é igual a 6.

O gabarito correto é C) 6.

abendo-se que o triângulo, cujos lados medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, tem área igual a 84 cm², conclui-se que o triângulo, cujos lados medem 6,5 cm, 7 cm e 7,5 cm, tem área, em cm², igual a

• A)42
• B)26,25
• C)24,375
• D)22,75
• E)21

Vamos resolver essa questão utilizando a fórmula de Heron, que nos permite calcular a área de um triângulo conhecidos seus lados. A fórmula é dada por:

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Onde A é a área do triângulo e s é o semi-perímetro, que pode ser calculado pela fórmula:

s = (a + b + c) / 2

No caso do primeiro triângulo, temos:

a = 13 cm, b = 14 cm e c = 15 cm

s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

Agora, podemos calcular a área do triângulo:

A = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = 84 cm²

Como esperado, a área do triângulo é igual a 84 cm².

Agora, vamos para o segundo triângulo:

a = 6,5 cm, b = 7 cm e c = 7,5 cm

s = (6,5 + 7 + 7,5) / 2 = 10,5

A = √(10,5(10,5-6,5)(10,5-7)(10,5-7,5)) = 21 cm²

Portanto, a área do segundo triângulo é igual a 21 cm².

O gabarito correto é, de fato, E) 21.

Para encontrarmos a resposta correta, vamos analisar as informações fornecidas. O perímetro do triângulo retângulo é a soma das medidas dos três lados. Além disso, sabemos que a circunferência inscrita é tangente aos três lados do triângulo, e o raio dessa circunferência é igual à metade da altura do triângulo. Já a circunferência circunscrita é a circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, e seu raio é igual ao lado diagonal do triângulo.

Com essas informações, podemos começar a resolver o problema. Vamos chamar os lados do triângulo de a, b e c, onde a é o lado oposto ao ângulo reto e b e c são os lados adjacentes. Além disso, vamos chamar o raio da circunferência inscrita de r e o raio da circunferência circunscrita de R.

Como o raio da circunferência inscrita é igual à metade da altura do triângulo, temos que a altura do triângulo é igual a 2r = 2(2) = 4m. Além disso, como o triângulo é retângulo, a altura é igual ao lado a. Portanto, a = 4m.

Agora, vamos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o lado b. Temos que b² = a² + c², onde a é a altura do triângulo e c é o lado diagonal do triângulo. Como R é o raio da circunferência circunscrita, temos que c = 2R = 2(6,5) = 13m.

Substituindo os valores, temos que b² = 4² + 13² = 16 + 169 = 185. Portanto, b = √185 ≈ 13,6m.

Agora, podemos encontrar o perímetro do triângulo. O perímetro é igual à soma dos lados, ou seja, P = a + b + c. Substituindo os valores, temos que P = 4 + 13,6 + 13 = 30,6m.

Portanto, a resposta correta é D) 30m.

• A)21m.
• B)24m.
• C)28m.
• D)30m.

A medida da área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 1m, é

• C)2√3 m2 .
• D)√3 m2 .
• A)√3/4 m2.
• B)3√3/4 m2.
• E)3√3/2 m2.

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a fórmula da área do triângulo equilátero, que é dada por A = (√3/4) × lado². Nesse caso, como o raio da circunferência é igual a 1m, o lado do triângulo equilátero será igual ao diâmetro da circunferência, que é igual a 2m. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

A = (√3/4) × 2²

A = (√3/4) × 4

A = √3

Portanto, a alternativa correta é A)√3/4 m2.

É importante lembrar que, para resolver problemas de matemática, é fundamental entender a fórmula e aplicá-la corretamente, além de conhecer os conceitos básicos de geometria.

Outra dica importante é ler atentamente a questão e entender o que está sendo pedido. Nesse caso, a questão pede a medida da área do triângulo equilátero, então é preciso aplicar a fórmula da área do triângulo equilátero.

Além disso, é fundamental praticar exercícios semelhantes para fixar o conhecimento e desenvolver a habilidade de resolver problemas de matemática.

Vamos analisar a situação: sabemos que as retas r e s são paralelas e que a distância entre elas é de 3 cm. Além disso, temos um segmento de reta em s com medida de 1 cm e um ponto X em r, cuja distância ao extremo do segmento é de 5 cm. Agora, precisamos encontrar as possíveis distâncias de X ao outro extremo do segmento.

Para resolver esse problema, vamos desenhar um diagrama com as informações fornecidas:

No diagrama acima, podemos ver que o ponto X forma um triângulo retângulo com os extremos do segmento de reta em s. Isso significa que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar as distâncias desejadas.

Vamos chamar a distância de X ao outro extremo do segmento de reta de y. Então, podemos escrever a seguinte equação:

y² = 5² - 1²

y² = 25 - 1

y² = 24

y = √24

y = √(4 × 6)

y = 2√6

Agora, precisamos encontrar outro valor para y. Vamos chamar a distância de X ao outro extremo do segmento de reta de z. Então, podemos escrever a seguinte equação:

z² = 5² - 4²

z² = 25 - 16

z² = 9

z = √9

z = 3√2

Portanto, as possíveis distâncias de X ao outro extremo do segmento são 3√2 cm e 2√6 cm, que é equivalente a √34 cm.

Logo, a resposta correta é A) 3√2 cm e √34 cm.