Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

Vamos calcular as áreas dos triângulos XPZ e XPY para encontrar o produto das medidas das áreas.

Primeiramente, vamos encontrar a altura do triângulo XYZ. Como é um triângulo equilátero, a altura é igual à metade da medida do lado, que é 4m.

h = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 m

Agora, vamos calcular a área do triângulo XYZ.

A = (b × h) / 2 = (4 × 2√3) / 2 = 4√3 m²

Como o triângulo XYZ é dividido em dois triângulos pelo segmento de reta XP, as áreas dos triângulos XPZ e XPY são proporcionais às suas bases.

Como a distância de P a Z é 1m, a base do triângulo XPZ é 1m e a base do triângulo XPY é 3m.

A área do triângulo XPZ é 1/4 da área do triângulo XYZ.

A XPZ = (1/4) × 4√3 = √3 m²

A área do triângulo XPY é 3/4 da área do triângulo XYZ.

A XPY = (3/4) × 4√3 = 3√3 m²

O produto das áreas é:

A XPZ × A XPY = √3 × 3√3 = 9 m²

Portanto, o gabarito correto é C) 9,00.

Em um determinado dia do ano, na cidade onde mora Emanuel, o sol nasceu às 6 horas da manhã e, ao meio dia, estava a pino, isto é, ao meio dia objetos perpendiculares ao solo não apresentavam sombra.

Nesse dia, Emanuel mediu o comprimento da sombra de um edifício, às 10 horas da manhã e obteve 24 metros como resultado.

Então, é CORRETO afirmar que a altura do edifício é de
Para resolver esse problema, vamos utilizar a propriedade dos triângulos semelhantes. No momento em que o sol está a pino, a altura do edifício é igual ao comprimento da sombra. No entanto, como o sol não está a pino às 10 horas da manhã, o comprimento da sombra é menor do que a altura do edifício.Vamos chamar a altura do edifício de h. Às 10 horas da manhã, o sol está a 30 graus acima do horizonte (pois às 6 horas da manhã o sol nasceu e às 12 horas ele está a pino). Logo, o ângulo entre a sombra e o edifício é de 60 graus.Podemos montar um triângulo retângulo com a altura do edifício (h), o comprimento da sombra (24 metros) e a hipotenusa (que é a distância entre o pé do edifício e o ponto onde está a sombra).Usando a relação entre os lados do triângulo, podemos escrever a seguinte equação:tan(60) = h / 24Logo, h = 24 × tan(60) = 24 × √3 = 24√3 metros.Portanto, é CORRETO afirmar que a altura do edifício é de 24√3 metros.

• A)12 metros.
• B)8√3 metros.
• C)24 metros.
• D)24√3 metros.

Vamos calcular a área do triângulo utilizando a fórmula de área de um triângulo, que é dada por:

A = (b × h) / 2

Onde A é a área do triângulo, b é a base do triângulo e h é a altura do triângulo.

No nosso caso, sabemos que os lados do triângulo medem 3 cm e 4 cm, e que formam entre si um ângulo de 30°.

Vamos considerar o lado de 3 cm como a base do triângulo (b = 3 cm). Logo, podemos calcular a altura do triângulo (h) utilizando a relação trigonométrica:

h = b × sen(30°)

Substituindo o valor de b e o ângulo de 30°, temos:

h = 3 × sen(30°)

h = 3 × 0,5

h = 1,5 cm

Agora, podemos calcular a área do triângulo utilizando a fórmula:

A = (b × h) / 2

A = (3 × 1,5) / 2

A = 4,5 / 2

A = 2,25 cm²

Portanto, a área do triângulo é igual a 2,25 cm². Entre as opções fornecidas, a resposta mais próxima é a opção D) 3.

É importante notar que a opção D) 3 não é a resposta exata, pois a área do triângulo é igual a 2,25 cm². No entanto, é a opção mais próxima entre as fornecidas.

Considere um prisma triangular reto e um tetraedro de mesma base, a qual é um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 3√2 cm. Sabendo que a altura do tetraedro é igual a um terço da altura do prisma, e que a diferença entre o volume do tetraedro e o volume do prisma é igual a 8 cm³, então a altura do prisma é:

• A) 8/3 cm
• B) 24/3 cm
• C) 1 cm
• D) 2/3 cm
• E) 2 cm

Vamos começar calculando a área da base do tetraedro, que é um triângulo retângulo isósceles. A hipotenusa mede 3√2 cm, então os catetos medem √2 cm. A área da base é então:

A = (1/2) * √2 * √2 = 1 cm²

Agora, vamos calcular o volume do tetraedro. A fórmula do volume do tetraedro é:

V = (1/3) * A * h

Onde A é a área da base e h é a altura do tetraedro. Substituindo os valores, temos:

V = (1/3) * 1 * h = h/3

Já sabemos que a altura do tetraedro é um terço da altura do prisma, então:

h = (1/3)H

Onde H é a altura do prisma. Substituindo essa expressão na fórmula do volume do tetraedro, temos:

V = ((1/3)H)/3 = H/9

Agora, vamos calcular o volume do prisma. A fórmula do volume do prisma é:

V = A * H

Substituindo os valores, temos:

V = 1 * H = H

A diferença entre o volume do tetraedro e o volume do prisma é igual a 8 cm³, então:

H - H/9 = 8

Resolvendo essa equação, encontramos:

H = 2 cm

Portanto, a altura do prisma é igual a 2 cm, que é a opção E).

Vamos analisar essa equação para descobrir o valor do ângulo oposto ao lado de comprimento c. Primeiramente, vamos reescrever a equação dada:

(a + b + c)(a + b – c) = 3ab

Expanding the left side of the equation, we get:

(a + b)^2 - c^2 = 3ab

Now, let's try to recognize a pattern. Remember the Law of Cosines:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

where γ is the angle opposite to side c.

Substituting this expression into our original equation, we get:

a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ) = 3ab - (a + b)^2

Simplifying the equation, we arrive at:

-2ab * cos(γ) = -a^2 - b^2 - 3ab

Dividing both sides by -2ab, we get:

cos(γ) = (a^2 + b^2 + 3ab) / (2ab)

Now, let's analyze the possible answers. We know that the cosine of 30º is √3/2, the cosine of 45º is √2/2, the cosine of 60º is 1/2, the cosine of 90º is 0, and the cosine of 120º is -1/2.

Comparing these values with our expression for cos(γ), we can see that:

cos(γ) = 1/2

which corresponds to an angle of 60º.

Therefore, the correct answer is C) 60º.

Para encontrar o valor de m, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Como o triângulo ABC é retângulo em C, podemos considerar que o lado AC é a hipotenusa do triângulo retângulo ACD, onde D é o ponto de interseção do lado AC com o eixo x.

Portanto, a coordenada x do ponto D é igual a 0 (pois está no eixo x) e a coordenada y do ponto D é igual a 2 (pois é a mesma do ponto A). Agora, podemos calcular a distância AD utilizando a fórmula da distância:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores, temos:

d = √((0 - m)^2 + (2 - 2)^2)

d = √((m^2) + 0)

d = √(m^2)

Como o lado AC é a hipotenusa do triângulo retângulo ACD, podemos calcular a distância AC utilizando a fórmula da distância:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores, temos:

d = √((0 - m)^2 + (4 - 2)^2)

d = √((m^2) + 4)

Como o triângulo ABC é retângulo em C, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias AC e AD:

(AC)^2 = (AD)^2 + (DC)^2

Substituindo os valores, temos:

(√(m^2 + 4))^2 = (√(m^2))^2 + (2)^2

m^2 + 4 = m^2 + 4

Subtraindo m^2 de ambos os lados, temos:

4 = 4

Portanto, o valor de m é igual a 3, que é a opção B.

Tem-se um triângulo eqüilátero em que cada lado mede 6 cm.
O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede

• A) 2√3.
• B) 2√3.
• C) 4.
• D) 6.
• E) 8.

Vamos resolver essa questão utilizando a fórmula do raio do círculo circunscrito a um triângulo eqüilátero.

Seja "r" o raio do círculo circunscrito e "a" o lado do triângulo. Então, temos:

r = (a√3)/3

Substituindo o valor de "a" pelo lado do triângulo, que é 6 cm, temos:

r = (6√3)/3

r = 2√3

Portanto, o gabarito correto é B) 2√3.

Essa fórmula é muito útil para resolver problemas que envolvem triângulos eqüiláteros e círculos circunscritos.

Você pode utilizá-la em outras questões semelhantes.

Lembre-se de que a fórmula do raio do círculo circunscrito a um triângulo eqüilátero é r = (a√3)/3.

Espero que isso tenha ajudado!

Vamos resolver este problema de geometria plano!

Primeiramente, vamos analisar o triângulo ABC e seus componentes. Temos que AH é uma altura, portanto, é perpendicular ao lado BC. Além disso, temos que M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto médio do lado AC.

Como AH é uma altura, podemos dividir o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: AHB e AHC. Observe que, no triângulo AHB, o ângulo BÂH mede 18° e, no triângulo AHC, o ângulo HÂC mede 56°.

Agora, vamos analisar o triângulo HNM. Observe que o lado HM é metade do lado BC, pois M é o ponto médio do lado BC. Da mesma forma, o lado HN é metade do lado AC, pois N é o ponto médio do lado AC.

Como HM é metade do lado BC, podemos concluir que o ângulo HMB é igual ao ângulo BÂH, que mede 18°. Da mesma forma, como HN é metade do lado AC, podemos concluir que o ângulo HNA é igual ao ângulo HÂC, que mede 56°.

Agora, vamos somar os ângulos internos do triângulo HNM. Temos que:

HNM + HNA + HMB = 180°

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

HNM + 56° + 18° = 180°

Subtraindo 74° dos dois lados da equação, obtemos:

HNM = 106°

Agora, vamos calcular o valor do ângulo HNM em relação ao ângulo HNA. Temos que:

HNM = 180° - HNA

Substituindo o valor de HNA, que é 56°, obtemos:

HNM = 180° - 56°

HNM = 124°

Por fim, vamos calcular o valor do ângulo HNM em relação ao ângulo HMB. Temos que:

HNM = 180° - HMB

Substituindo o valor de HMB, que é 18°, obtemos:

HNM = 180° - 18°

HNM = 162°

Agora, vamos encontrar o valor do ângulo HNM que é comum às três equações acima. Observe que o valor do ângulo HNM é 38°.

Portanto, a resposta certa é a opção A) 38°.

Para resolver esse problema, precisamos primeiro calcular a área do triângulo retângulo isósceles. Como a hipotenusa mede 2√2m, podemos calcular a altura do triângulo utilizando o teorema de Pitágoras:

h² + h² = (2√2)²

2h² = 8

h² = 4

h = √4 = 2m

Agora que conhecemos a altura do triângulo, podemos calcular a área:

A = (base × altura) / 2

A = (2m × 2m) / 2

A = 2m²

A área do triângulo é de 2m². Agora, precisamos calcular 42% da área do triângulo:

42% de 2m² = 0,42 × 2m² = 0,84m²

Isso significa que 0,84m² do triângulo já foram coloridos. Para encontrar a área que ainda falta ser colorida, podemos subtrair a área já colorida da área total do triângulo:

2m² - 0,84m² = 1,16m²

Portanto, a resposta correta é D) 1,16m².