São dados nove pontos distintos no espaço e um segmento de reta JK de modo que cada um dos nove pontos juntamente com o ponto J e o ponto K são vértices de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento JK. Se a medida do segmento JK é 4 m, então a soma das medidas das distâncias de cada um dos nove pontos ao ponto médio do segmento JK é

Para resolver esse problema, vamos analisar a figura abaixo:

Observe que cada um dos 9 pontos, juntamente com J e K, forma um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento JK. Além disso, como a medida do segmento JK é 4m, cada um desses triângulos tem hipotenusa igual a 4m.

Agora, vamos considerar um desses triângulos. Chamemos o ponto desconhecido de P. Como a hipotenusa é 4m, podemos aplicar o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados:

Como o segmento JK tem medida 4m, temos que JP^2 + PK^2 = 4^2. Além disso, como o ponto P é um vértice de um triângulo retângulo, temos que JP = PK (pois são os catetos do triângulo). Portanto, JP^2 = PK^2 = 4^2/2 = 8.

Logo, JP = PK = √8. Agora, vamos calcular a distância do ponto P ao ponto médio do segmento JK, que chamaremos de M. Observe que JM = MK = 2m (pois M é o ponto médio de JK). Além disso, PM = √(JP^2 - JM^2) = √(8 - 4) = √4 = 2.

Portanto, a distância do ponto P ao ponto médio do segmento JK é 2m. Como há 9 pontos, a soma das distâncias de cada um dos 9 pontos ao ponto médio do segmento JK é 9 × 2 = 18 m.

• A) 18 m.
• B) 22 m.
• C) 28 m.
• D) 36 m.

Portanto, a resposta correta é a opção A) 18 m.