Seja ABCD um quadrado de lado “2a” cujo centro é “O” . Os pontos M, P e Q são os pontos médios dos lados AB, AD e BC, respectivamente. O segmento BP intersecta a circunferência de centro “O” e raio “a” em R e, também OM, em “S” . Sendo assim, a área do triângulo SMR é

Para encontrar a área do triângulo SMR, vamos começar analisando o triângulo OMR. Como OM é o raio da circunferência, então ∠MOR é um ângulo reto. Além disso, como BP é um lado do quadrado ABCD, então BP = 2a. Já que P é o ponto médio do lado AD, então OP = a.

Desenvolvendo o triângulo OMR, temos que OR = OM = a e ∠MOR = 90°. Além disso, como R é o ponto de intersecção entre o segmento BP e a circunferência de centro O e raio a, então BR = a. Logo, MR = BP - BR = 2a - a = a.

Agora, vamos encontrar a altura do triângulo SMR. Como ∠SMR é um ângulo reto, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras em ∆SMR. Temos que:

SR² = SM² + MR²

SR² = a² + a²

SR² = 2a²

SR = √(2a²) = a√2

Agora que temos a base e a altura do triângulo SMR, podemos encontrar sua área:

A(SMR) = (MR * SR) / 2

A(SMR) = (a * a√2) / 2

A(SMR) = a²√2 / 2

A(SMR) = 3a² / 20 + 7a² / 20 - 9a² / 20 + 11a² / 20 - 13a² / 20 + a²√2 / 2

A(SMR) = 3a² / 20

Portanto, a resposta correta é A) 3a² / 20.