Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm2 , a medida do segmento AE, em cm, é igual a

Vamos resolver essa questão de geometria! Seja x a razão da progressão aritmética. Logo, temos:

Área do quadrado ABCD: a

Área do trapézio BEDC: a + x

Área do triângulo ADE: a + 2x

Já sabemos que a soma dessas áreas é 200 cm2, então:

a + (a + x) + (a + 2x) = 200

Isolando a, temos:

3a + 3x = 200

a + x = 200/3

Agora, vamos calcular a área do triângulo ADE. Sabemos que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pelo altura. No caso, a base é AE e a altura é igual à metade do lado do quadrado (AB/2). Logo:

Área do triângulo ADE: (AE × AB/2)/2

Vamos chamar a medida do lado do quadrado de y. Então:

Área do triângulo ADE: (AE × y/2)/2

Já sabemos que a área do triângulo é a + 2x, então:

(AE × y/2)/2 = a + 2x

Multiplicando ambos os lados por 2, temos:

AE × y/2 = 2a + 4x

Vamos substituir a + x por 200/3:

AE × y/2 = 2(200/3 - x) + 4x

Simplificando, temos:

AE × y/2 = 400/3 - 2x + 4x

AE × y/2 = 400/3 + 2x

Substituindo y por 2√(a) (pois o lado do quadrado é igual à raiz quadrada da área do quadrado), temos:

AE × √(a) = 400/3 + 2x

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

(AE)² × a = (400/3 + 2x)²

Expanding o lado direito, temos:

(AE)² × a = 1600/9 + 1600/9x + 4x²

Simplificando, temos:

(AE)² × a = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Já sabemos que a + x = 200/3, então:

a = 200/3 - x

Substituindo em a, temos:

(AE)² × (200/3 - x) = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Expanding o lado esquerdo, temos:

(AE)² × 200/3 - (AE)² × x = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Simplificando, temos:

200/3(AE)² - (AE)² × x = 3200/9 + 1600/9x + 4x²

Reorganizando os termos, temos:

4x² + (1600/9 - (AE)²)x + 200/3(AE)² - 3200/9 = 0

Essa é uma equação de segundo grau em relação à x. Vamos calcular o discriminante (b² - 4ac):

b = 1600/9 - (AE)²

a = 4

c = 200/3(AE)² - 3200/9

Substituindo os valores, temos:

b² - 4ac = (1600/9 - (AE)²)² - 4 × 4 × (200/3(AE)² - 3200/9)

Simplificando, temos:

b² - 4ac = (1600/9 - (AE)²)² - 3200/9 × (AE)² + 51200/9

Expanding o lado esquerdo, temos:

b² - 4ac = 256000000/6561 - 3200/9 × (AE)² + 1600/3 × (AE)² - (AE)⁴ + 51200/9

Simplificando, temos:

b² - 4ac = 281600000/6561 - (AE)⁴

Vamos calcular o valor de x usando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Substituindo os valores, temos:

x = ((AE)² - 1600/9 ± √(281600000/6561 - (AE)⁴)) / 8

Simplificando, temos:

x = ((AE)²/8 - 200/9 ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Vamos substituir a + x por 200/3 novamente:

a = 200/3 - x

Substituindo em a, temos:

x = ((AE)²/8 - (200/3 - x) ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Simplificando, temos:

x = ((AE)²/8 - 200/3 + x ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Reorganizando os termos, temos:

-x = ((AE)²/8 - 200/3 ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Multiplicando ambos os lados por -1, temos:

x = -((AE)²/8 - 200/3 ± √(352000000/52488 - (AE)⁴/64))

Vamos calcular o valor de AE:

AE = √((x + 200/3) × y/2)

Substituindo y por 2√(a) novamente, temos:

AE = √((x + 200/3) × √(a))

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

(AE)² = (x + 200/3) × a

Substituindo a por 200/3 - x, temos:

(AE)² = (x + 200/3) × (200/3 - x)

Expanding o lado direito, temos:

(AE)² = 40000/9 - x²

Simplificando, temos:

x² + (AE)² = 40000/9

Vamos substituir o valor de x encontrado anteriormente:

(-((AE)²/8 - 200/3) ± √((352000000/52488 - (AE)⁴/64)))² + (AE)² = 40000/9

Simplificando, temos:

(AE)²/64 - 40000/9 + (AE)² = 40000/9

Simplificando novamente, temos:

(AE)²/64 = 0

Logo, AE = 0 ou AE = 20/3.

Como AE não pode ser zero, temos:

AE = 20/3

Portanto, a medida do segmento AE, em cm, é igual a 20/3.