Sejam m e n inteiros tais que m/n = – 2/3 e a equação 36×2 + 36y2 + mx + ny − 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm2 , é igual a

Vamos começar analisando a equação dada: 36x2 + 36y2 + mx + ny − 23 = 0. Como a circunferência tem raio r = 1 cm, podemos reescrever a equação na forma padrão de uma circunferência: (x - h)2 + (y - k)2 = r2, onde (h, k) é o centro da circunferência.

Como o centro C está localizado no segundo quadrante, sabemos que h é negativo e k é positivo. Além disso, como a circunferência cruza o eixo Oy em dois pontos A e B, sabemos que o centro C também está sobre a reta que passa pelos pontos A e B, que é o eixo Oy. Portanto, h = 0.

Substituindo h = 0 na equação padrão, obtemos: x2 + (y - k)2 = r2. Comparando com a equação original, vemos que 36y2 + ny = (y - k)2. Expandindo a equação, obtemos: 36y2 + ny = y2 - 2yk + k2.

Igualando os coeficientes de y2 e de y, obtemos: 36 = 1 e n = -2k. Substituindo n na condição dada m/n = -2/3, obtemos: m/(-2k) = -2/3. Simplificando, obtemos: m = 4k/3.

Agora, voltemos à equação original. Substituindo m e n em termos de k, obtemos: 36x2 + 36y2 + (4k/3)x - 2ky - 23 = 0.

Como o centro C está no segundo quadrante, sabemos que k é positivo. Além disso, como a circunferência tem raio r = 1 cm, sabemos que |k| = 1. Portanto, k = 1.

Substituindo k = 1, obtemos: m = 4/3 e n = -2. Agora, podemos encontrar os pontos A e B, que são os pontos de interseção da circunferência com o eixo Oy. Substituindo x = 0 na equação original, obtemos: 36y2 - 2y - 23 = 0.

Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos: y = 1 ± 1. Portanto, os pontos A e B são A(0, 2) e B(0, 0).

Agora, podemos calcular a área do triângulo ABC. Como o ponto C é o centro da circunferência, sabemos que o triângulo ABC é isósceles, com base AB e altura r = 1 cm. Portanto, a área do triângulo é: (base × altura) / 2 = (√2 × 1) / 2 = 2√2/9 cm2.

Portanto, a resposta correta é D) 2√2/9 cm2.