Sejam: I) r uma reta que passa pelo ponto (√3,-l) . II) A e B respectivamente os pontos em que r corta os eixos x e y. III)C o ponto simétrico de B em relação a origem.Se o triângulo ABC é equilátero, a equação da circunferência de centro A e raio igual à distância entre A e C é

Para encontrar a equação da circunferência de centro A e raio igual à distância entre A e C, devemos primeiro encontrar as coordenadas dos pontos A e C.Como a reta r passa pelo ponto (√3, -1) e corta os eixos x e y nos pontos A e B, respectivamente, podemos concluir que a reta r é perpendicular aos eixos x e y. Além disso, como o triângulo ABC é equilátero, os lados AB e AC têm o mesmo comprimento.Vamos encontrar as coordenadas do ponto A. Como A é o ponto de intersecção da reta r com o eixo x, a ordenada de A é zero. Vamos chamar a abscissa de A de a. Então, as coordenadas do ponto A são (a, 0).Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto C. Como C é o ponto simétrico de B em relação à origem, as coordenadas de C são (-b, b), onde b é a ordenada de B.Como o triângulo ABC é equilátero, os lados AB e AC têm o mesmo comprimento. Então, podemos escrever:√((a - √3)^2 + (0 + 1)^2) = √((a - (-b))^2 + (0 - b)^2)Simplificando a equação, obtemos:a^2 - 2a√3 + 3 = a^2 + 2ab + b^2Subtraindo a^2 de ambos os lados, obtemos:-2a√3 + 3 = 2ab + b^2Agora, vamos encontrar o valor de b. Como a reta r passa pelo ponto (√3, -1), a equação da reta é y = k(x - √3) - 1, onde k é a inclinação da reta.Como a reta r é perpendicular aos eixos x e y, a inclinação k é igual a -1. Então, a equação da reta é y = -(x - √3) - 1.Agora, vamos encontrar a intersecção da reta r com o eixo y. Substituindo x = 0 na equação da reta, obtemos:y = -(-√3) - 1 y = √3 - 1Então, as coordenadas do ponto B são (0, √3 - 1). Como C é o ponto simétrico de B em relação à origem, as coordenadas de C são (0, -(√3 - 1)).Substituindo as coordenadas de A e C na equação da circunferência, obtemos:(x - a)^2 + y^2 = (x - 0)^2 + (y + (√3 - 1))^2Expanding a equação, obtemos:x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2√3y - 2y + 3 - 2√3Subtraindo x^2 + y^2 de ambos os lados, obtemos:-2ax + a^2 = 2√3y - 2y + 3 - 2√3Agora, vamos encontrar o valor de a. Como a reta r passa pelo ponto (√3, -1), a equação da reta é y = k(x - √3) - 1, onde k é a inclinação da reta.Como a reta r é perpendicular aos eixos x e y, a inclinação k é igual a -1. Então, a equação da reta é y = -(x - √3) - 1.Substituindo y = 0 na equação da reta, obtemos:0 = -(x - √3) - 1 x = 2√3Então, as coordenadas do ponto A são (2√3, 0). Substituindo a = 2√3 na equação da circunferência, obtemos:(x - 2√3)^2 + y^2 = (x - 0)^2 + (y + (√3 - 1))^2Expanding a equação, obtemos:(x - 2√3)^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2√3y - 2y + 3 - 2√3Simplificando a equação, obtemos:(x - 2√3)^2 + y^2 = 16Portanto, a equação da circunferência de centro A e raio igual à distância entre A e C é (x - 2√3)^2 + y^2 = 16, que é a opção B).