Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB — AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a

Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB — AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a

• A)24 cm
• B)13 cm
• C)12 cm
• D)9 cm
• E)7 cm

Vamos resolver esse problema utilizando as propriedades dos triângulos isósceles e das circunferências inscritas. Como a circunferência está inscrita no triângulo, sabemos que o centro da circunferência é o ponto de interseção das medianas do triângulo. Além disso, como o triângulo é isósceles, sabemos que as medianas que partem dos vértices A e C são perpendiculares ao lado BC.

Desenhe um diagrama do triângulo ABC com a circunferência inscrita e marque o centro da circunferência como ponto O. Desenhe também as medianas que partem dos vértices A e C até o lado BC, que se intersectam no ponto O. Como a altura relativa ao lado BC mede 8 cm, sabemos que a distância do ponto O ao lado BC é de 8 cm.

Agora, vamos utilizar a propriedade de que a distância do centro de uma circunferência inscrita a um lado de um triângulo é igual ao raio da circunferência. Portanto, a distância do ponto O ao lado BC é igual ao raio da circunferência, que é de 3 cm. Isso significa que o lado BC é composto por dois segmentos de 8 cm e 3 cm, respectivamente.

O comprimento do lado BC é, portanto, igual a 8 cm + 3 cm = 11 cm. No entanto, como o lado BC é composto por dois segmentos iguais (já que o triângulo é isósceles), o comprimento de cada segmento é de 11 cm / 2 = 5,5 cm. Como o raio da circunferência é de 3 cm, o comprimento do lado BC é igual a 2 x 5,5 cm + 3 cm = 12 cm.

Portanto, a resposta correta é C) 12 cm.