Questões Sobre Aritmética - Matemática - Vestibular Tradicional

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1) Se a soma e o produto de dois números são iguais a 1, a soma dos cubos desses números é igual a:

A) − 2.
B) 0.
C) 2.
D) – 2 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ – i.
E) – $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ i.

A alternativa correta é letra A

Sejam A e B dois números quaisquer. Como dito no enunciado temos:

A + B = 1 e A . B = 1

Elevando ambos os números ao quadrado e somando temos:

A^{2} + B^{2} = (A + B)^{2} - 2 . A . B = 1^{2} - 2.1 = - 1

elevando agora ambos ao cubo e somando temos:

\begin{array}{l} A^{3} + B^{3} = (A + B) . (A^{2} + B^{2} - a b) = \\ = 1 . (- 1 - 1) = - 2 \end{array}

Alternativa a)

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2) Um número natural de três algarismos tem o 6 como algarismo das unidades. Se este último algarismo for colocado antes dos outros dois passando a ser, portanto, o algarismo das centenas, o novo número excederá o triplo do anterior em 89. O número original é divisível por:

A) 3
B) 7
C) 13
D) 17
E) 11

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A alternativa correta é letra E

Podemos escrever o primeiro número (ab6) como:

100a + 10b + 6,

sendo a e b os algarismos (de 0 a 9) da centena e da dezena.

Analogamente, o segundo número (6ab) pode ser escrito como:

600 + 10a + b,

sendo a e b os mesmos algarismos anteriores.

Pela relação dada entre os dois números de 3 algarismos, temos que:

(6ab) = 3(ab6) + 89

600 + 10a + b = 3.(100a + 10b + 6) + 89

600 + 10a + b = 300a + 30b + 107

290a + 29b = 493

Dividindo a equação por 29:

10a + b = 17

Como 10a + b é o número de dois algarismos (ab) = 17, chegamos que a = 1 e b = 7, e portanto, o número original é 176.

Fazendo a decomposição do número 176, temos que:

176 = 2.2.2.2.11,

Portanto, o número original é divisível por 11, como descrito na alternativa E.

3) Catarina demora 15 minutos para comer uma pizza. Daniel é mais rápido: leva apenas 12 minutos. Tiago é um caso especial: a pizza desaparece em 9 minutos! Outro dia eles ganharam uma pizza que comeram juntos. Quanto tempo demorou?

A) 47 minutos.
B) 4 minutos e 30 segundos.
C) 3 minutos e 50 segundos.
D) 5 minutos e 20 segundos.
E) 90 minutos.

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A alternativa correta é letra B

Para resolver este problema, primeiramente devemos calcular o tempo que cada um dos personagens leva para comer um pedaço de uma pizza de 8 pedaços:

Catarina:

t_{1} = \frac{15}{8} = 1, 875 m i n

Daniel:

t_{2} = \frac{12}{8} = 1, 5 m i n

Tiago:

t_{3} = \frac{9}{8} = 1, 125 m i n

Sendo Tiago o mais rápido, ele comerá 3 pedaços, assim como Daniel, e Catarina, por ser mais lenta, comerá apenas dois. O o tempo total para que os três comam a pizza é dado pelo maior tempo entre Daniel comer 3 pedaços ou Catarina comer 2 pedaços:

Daniel:

3 \cdot t_{2} = 4, 5 m i n

Catarina:

2 \cdot t_{1} = 3, 75 m i n

Dessa forma, temos que o tempo necessário para que os três comam a pizza juntos é de 4,5 minutos, ou seja, 4 minutos e 30 segundos, como descrito pela alternativa B.

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4) O senhor Mario resolveu, durante os sete dias de uma determinada semana, premiar seu neto Carlos com um número inteiro (maior que zero) em reais. Deu a ele x reais no primeiro dia e y no segundo. A partir do terceiro dia, pagou ao neto sempre a soma dos valores anteriores. No último dia dessa semana, Carlos recebeu R$ 60,00. Então, no terceiro dia Carlos recebeu:

A) 3 reais
B) 6 reais
C) 9 reais
D) 12 reais
E) 15 reais

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A alternativa correta é letra C

Sabendo que no primeiro dia Carlos recebeu uma quantia x, e no segundo dia, uma quantia y, no terceiro dia, ele recebeu uma quantia x+y, pois recebia sempre a soma das quantias anteriores. No quarto dia, Carlos recebeu então uma quantia x+y+y = x+2y, e no quinto dia, uma quantia x+y+x+2y = 2x+3y. No sexto dia, Mario deu ao seu neto uma quantidade x+2y+2x+3y = 3x+5y, e no último dia da semana, uma quantia 2x+3y+3x+5y = 5x+8y, que era igual a R$60,00.

Sabendo que x e y são números inteiros, os únicos valores de x e y que satisfazem a equação 5x+8y = 60 são os valores de x = 4 e y = 5, que fazem com que no terceiro dia, em que Carlos recebeu x+y, tenha recebido 9 reais, o que remete à alternativa C.

5) A escala de coma de Glasgow é utilizada como primeira avaliação do nível de consciência de pacientes com trauma craniano. Essa escala consiste em avaliar o paciente em três testes, que são: ocular (O), verbal (V) e motor (M). O especialista que avalia o paciente atribui de 1 a 4 pontos para O, de 1 a 5 pontos para V e de 1 a 6 pontos para M. Um trauma cranioencefálico é considerado grave se a pontuação total é de 3 a 8 pontos, moderado se é de 9 a 13 pontos, e leve se é de 14 a 15 pontos.

(http://misodor.com. Adaptado.)

Se um paciente foi avaliado na escala de Glasgow com classificação moderada de trauma, é correto afirmar que ele obteve, necessariamente, pontuação

A) de 1 unidade inferior ao máximo em apenas um dos três testes.
B) de 2 unidades inferiores ao máximo em apenas um dos três testes.
C) maior do que 1 em pelo menos dois dos três testes.
D) máxima em pelo menos um dos três testes.
E) menor do que 3 em apenas um dos três testes.

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A alternativa correta é letra C

Vamos admitir que esta pontuação admita apenas números inteiros positivos. Se um paciente foi avaliado, na escala de Glasgow, com classificação moderada de trauma, então

9 ≤ O + V + M ≤ 13

Isso significa dizer que a soma dos pontos das três categorias está entre 9 e 13.

Sendo 1 ≤ O ≤ 4
1 ≤ V ≤ 5
e 1 ≤ M ≤ 6,
o paciente deverá ter pontuação maior do que 1 em pelo menos dois dos três testes, pois se, por exemplo, O = 1 e V = 1 deveríamos ter M ≥ 7, o que não é possível pois essa categoria só chega até 6 pontos.
Portanto, a alternativa correta é C.

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6) João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há 25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$ 150,00 é igual a

A) 46
B) 45
C) 44
D) 43
E) 42

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A alternativa correta é letra B

Temos 3 situações a analisar: 1) Comprando as 2 dúzias (24 canetas) da loja A, João gasta 2 ⋅ 40 = 80 reais, sobrando 150 – 80 = 70 reais para as lojas B e C. Como o preço unitário da caneta na loja B é 7,60 : 2 = 3,80 reais, maior que os 3,20 reais da loja C, e 70 : 3,20 = 21,875, João pode comprar 21 canetas da loja C, totalizando 45 canetas.
2) Comprando 1 dúzia (12 canetas) da loja A, João gasta 40 reais, sobrando 150 – 40 = 110 reais para as lojas B e C. Considerando novamente comprar o máximo possível na loja C (mais barata), ele pode comprar as 25 canetas dessa loja, gastando 25 ⋅ 3,20 = 80 reais e com os 110 – 80 = 30 reais restantes, ele compra 3 pares (22,80 reais) na loja B, totalizando 12 + 25 + + 6 = 43 canetas. Ainda poderia ocorrer de João comprar 24 canetas na loja C (76,80 reais) e com os 110 – 76,80 = 33,20 reais ele compraria 4 pares (30,40 reais) na loja B, totalizando 12 + 24 + 8 = 44 canetas.
3) Não comprando caneta alguma na loja A, o máximo que ele teria à disposição nas lojas B e C seria 20 + 25 = 45 canetas. Logo, o máximo possível que João pode comprar é 45 canetas.

7) Alguns problemas de saúde, como bócio endêmico e retardo mental, são causados pela ingestão de quantidade insuficientes de iodo. Uma maneira simples de suprir o organismo desse elemento químico é consumir o sal de cozinha que contenha de 20 a 60 mg de iodo por quilograma do produto. No entanto, em algumas regiões do País, o problema persiste, pois o sal utilizado ou não foi produzido para consumo humano, ou não apresenta a quantidade mínima de iodo recomendada. A fonte de iodo utilizada na indústria do sal é o iodato de potássio, KIO3, cujo custo é de R$ 20,00/kg. Considerando que o iodo representa aproximadamente 60% da massa de KIO3 e que 1 kg do sal de cozinha é comercializado ao preço médio de R$ 1,00, a presença da quantidade máxima de iodo permitida por lei (60miligramas de iodo por quilograma de sal) representa, no preço, a porcentagem de

A) 0,10%.
B) 0,20%.
C) 1,20%.
D) 2,0%.
E) 12%.

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A alternativa correta é letra B

Já que 1kg de KIO₃ custa R$20,00 e, dessa massa, 60% correspondem a iodo, então 600g de iodo custam esses R$20,00.

Assim, o custo de 60g de iodo é R$2,00 = R$20,00

\div

10, e o custo de 60mg é R$0,002 = R$2,00

\div

1000.

Como 1kg de sal é vendido por R$1,00, o custo do iodo nesse preço representa, no máximo,

\frac{0, 02}{1, 00} . 100 % = 0, 20 %

Alternativa B.

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8) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá

A) numa quinta-feira.
B) numa sexta-feira.
C) num sábado.
D) num domingo.
E) numa segunda-feira.

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A alternativa correta é letra A

Primeiro você divide 3.000 por 7, pois 3.000 é a diferença de dias, e sete é o número de dias que tem uma semana. Pegue somente os números inteiros, assim:
sa divisão de 3.000 por sete, o resultado é 428 e sobra 4.
Pode dizer então que 3.000 é o produto de 428 vezes 7 somado com 4, ou que
(428 X 7) + 4 = 3.000.
Há cada 7 dias, após a data de 20 de julho de 2008, será novamente domingo (o dia da semana se repete). Logo no dia 2.996º após o dia informado será novamente domingo (2.996 é o produto de 428 X 7). Então deduza:
-->se 2.996º é domingo
-->então 2.997º será segunda-feira
-->então 2.998º será terça-feira
-->então 2.999º será quarta-feira
-->então 3.000º será quinta-feira.

9) Os anos N–1, e N têm 365 dias cada um. Sabendo-se que o 300° dia do ano N é uma terça-feira, o 100° dia do ano N–1 foi uma

A) segunda-feira.
B) terça-feira.
C) quarta-feira.
D) quinta-feira.
E) sexta-feira.

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A alternativa correta é letra D

Inicialmente determina-se em que dia da semana do ano N o 100º dia ocorre. Para isso devemos encontrar quantas semanas existem entre o 100º e o 300º dia do ano N.

300-100=200 dias = 28*7+4 = 28semanas e 4 dias.

Assim, como o dia 300º do ano N acontece em uma terça-feira, o dia 100 ocorre em uma sexta-feira do ano N.

Para descobrir o dia da semana do 100º dia no ano N-1 devemos lembrar que o enunciado deixa claro que nenhum dos anos é bissexto, portanto basta voltarmos um dia da semana para encontrarmos o dia da semana em que ocorre o dia 100 no ano N-1. Portanto quinta-feira.

Alternativa D.

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10) João possui apenas moedas de 10 e 25 centavos, que juntas formam um total de R$ 1,95. Assim sendo, pode-se afirmar corretamente que João tem

A) mais moedas de 10 do que de 25 centavos.
B) no máximo 15 moedas dos dois tipos.
C) no máximo 7 moedas de 10 centavos.
D) no mínimo 5 moedas de 25 centavos.
E) no mínimo 9 moedas dos dois tipos.

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A alternativa correta é letra E

Analisando os máximos possíveis de quantidade de uma das moedas e completando com a demais para obter o valor total podemos:

17 . R $ 0, 10 + 1 . R $ 0, 25 o u 7 . R $ 0, 25 + 2 . R $ 0, 10

Analisando as alternativas concluímos:
a) Errada, No segundo caso temos mais de R$0,25
b) Errada, No primeiro caso temos 18 moedas
c) Errada, No primeiro caso temos 17 moedas de R$0,10
d) Errada, No segundo caso temos 7 moedas de R$0,25
e) Correta, No segundo caso temos 9 moedas

Nesse caso a alternativa correta é a Letra E

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