Questões Sobre Aritmética - Matemática - Vestibular Tradicional

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11) Um número inteiro positivo m dividido por 15 dá resto 7. A soma dos restos das divisões de m por 3 e por 5 é

A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.

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A alternativa correta é letra B

Sendo q o quociente da divisão de m por 15, temos que:

m = 15.q + 7

Manipulando a equação acima, temos que:

m = 3.5.q + 6 + 1

Para calcular os restos das divisões de m por 3 e 5, precisamos manipular a equação de duas maneiras diferentes, tal que tenhamos, nas equações (I) e (II), respectivamente:

(I) m = 3.a + r₁,

em que a é o quociente e r₁ é o resto da divisão de m por 3, e

(II) m = 5.b + r₂,

em que b é o quociente e r₂ é o resto da divisão de m por 5.

Da equação m = 3.5.q + 6 + 1, temos que:

(I) m = 3.(5.q+2) + 1, de onde tiramos que a = 5.q+2 e r₁ = 1, e

(II) m = 5.(3.q+1) + 2, de onde tiramos que b = 3.q+1 e r₂ = 2.

Sendo assim, a soma dos restos das divisões é dado por:

r₁ + r₂ = 1 + 2 = 3,

o que remete à alternativa B.

12) O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a

A) 21.
B) 20.
C) 15.
D) 14.

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A alternativa correta é letra C

Para garantirmos que aconteça pelo menos algum evento, devemos sempre considerar a pior hipótese possível.
Vamos pensar primeiro em um evento menor, se tivéssemos 8 pessoas, para garantir que pelo menos duas nasceram no mesmo dia, como faríamos?
Em uma semana temos 7 dias, logo a pior hipótese para garantir que se em 8 pessoas duas tenham nascidas no mesmo dia da semana, temos que:

D S T Q Q S S x x x x x x x x

Então seguindo a mesma lógica, para garantir que três pessoas nasceram no mesmo dia teríamos:

D S T Q Q S S x x x x x x x x x x x x x x x

Ou seja, para garantirmos que terão 3 pessoas nascidas no mesmo dia, precisamos de 15 pessoas.
Alternativa C.

13) Considere o conjunto dos 51 primeiros múltiplos positivos de 3. Seja μ sua média e M sua mediana. Podemos afirmar que

A) $μ$ = 75.
B) M = 77.
C) $μ$ = M.
D) $|μ - M|$ = 0,5.
E) $μ = \sqrt{M^{2} + 1}$ .

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A alternativa correta é letra C

O conjunto dos 51 primeiros múltiplos positivos de 3 é M(3)={3; 6; 9; …; 153}.
soma de todos os elementos desse conjunto é
S =

\frac{(3 + 153) \times 51}{2}

=3978.
A média dos elementos desse conjunto é μ =

\frac{3978}{51}

=78.
A mediana dos elementos desse conjunto é o valor do vigésimo sexto termo da progressão aritmética (3; 6; 9; …; 153), ou seja, M = 3 + (26 – 1) . 3 = 78.
Logo μ = M = 78, portanto a resposta é a Letra C.

14) Tome um número inteiro positivo diferente de zero e execute, isoladamente, estas operações: some-o com ele mesmo, subtraia-o de si mesmo, multiplique-o por ele mesmo e divida-o por ele mesmo. Em seguida some os quatro resultados anteriores. Qualquer que seja o número

A) primo
B) par
C) quadrado perfeito
D) menor que 1
E) múltiplo de 5

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A alternativa correta é letra C

Vamos tomar por exemplo o número 2, realizando as operações decritas temos:

1) 2 + 2 = 4

2) 2 - 2 = 0

3) 2.2 = 4

4) 2/2 = 1

Somando os quatro resultados anteriores obtemos o número 9. Observamos que o núemro obtido não é primo, nem par, maior que 1 e não é múltiplo de 5, restando então apenas a opção quadrado perfeito.

Alternatica c).

15) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

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A alternativa correta é letra C

Vamos considerar N = c d u, em que c é o algarismo da centena, d é o algarismo da dezena, e u o algarismo da unidade do número natural N de três algarismos. A partir dos dados fornecidos no enunciado, temos que:

c d u - 396 = u d c, ou seja:

100c + 10d + u - 396 = 100u + 10d + c

100c + u - 396 = 100 u + c

99c - 99u = 396

99(c - u) = 396

c - u = 4

c = 4 + u

Entretanto, do enunciado, sabemos que c + u = 8. Substituindo c = 4 + u nesta equação, temos que:

4 + u + u = 8

2u = 4

u = 2

Voltando para a equação c = 4 + u:

c = 4 + 2

c = 6

Alternativa C.

16) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de

A) 4,3.
B) 4,5.
C) 4,7.
D) 4,9.
E) 5,1.

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A alternativa correta é letra C

A media da classe(Mc) é :

M c = \frac{S h + S m}{14}

Sh=Soma das notas dos homens
Sm=Soma das notas das mulheres
A media das mulheres(Mm) é :

M m = \frac{S m}{8} = M c + 1

A media dso homens(Mh) é :

M h = \frac{S h}{6}

Como

S h = \frac{S m}{2}

, temos :

M h = \frac{S m}{12}

M c = \frac{3 S m}{28}

.

Logo

M m = \frac{3 S m}{28} + 1 = \frac{S m}{8} \to S m = 56

, assim

S h = 28

M h = \frac{28}{6} ≅ 4, 7

. Portanto a resposta é letra C.

17) Qual é o valor da expressão: [10² + 20² + 30² +…+ 100²] – [9² + 19² + 29² + … + 99²]?

A) 2180.
B) 1090.
C) 3210.
D) 4520.
E) 1820.

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A alternativa correta é letra B

A equação completa seria

\begin{array}{l} [10^{2} + 20^{2} + 30^{2} + 40^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 70^{2} + \\ 80^{2} + 90^{2} + 100^{2}] - [9^{2} + 19^{2} + 29^{2} + 39^{2} + \\ 49^{2} + 59^{2} + 69^{2} + 79^{2} + 89^{2} + 99^{2}] \end{array}

Agrupando dois a dois o números, teremos

\begin{array}{l} 10^{2} - 9^{2} + 20^{2} - 19^{2} + 30^{2} - 29^{2} + 40^{2} - 39^{2} \\ + 50^{2} - 49^{2} + 60^{2} - 59^{2} + 70^{2} - 69^{2} + 80^{2} \\ - 79^{2} + 90^{2} - 89^{2} + 100^{2} - 99^{2} \end{array}

Sabemos que

\begin{array}{l} (10^{2} - 9^{2}) = 10^{2} - (10 - 1)^{2} = \\ 10^{2} - 10^{2} + 20 - 1 = 19 \\ (20^{2} - 19^{2}) = 20^{2} - (20 - 1)^{2} = \\ 20^{2} - 20^{2} + 40 - 1 = 39 \end{array}

E assim sucessivamente. Generalizando os resultados obtidos temos que

n^{2} - (n - 1)^{2} = 2 n - 1

Assim o resultado da equação será:

\begin{array}{l} 19 + 39 + 59 + 79 + 99 + 119 + 139 + 159 \\ + 179 + 199 = 1090 \end{array}

Alternativa B

18) Considere a, b e c algarismos que fazem com que a conta a seguir, realizada com números de três algarismos, esteja correta.

A) 0.
B) $\frac{1}{16}$ .
C) $\frac{1}{4}$ .
D) 1.
E) 16.

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A alternativa correta é letra D

Temos: b + 7 = 5, ou seja, b = 8

Temos também que: 5 + 7 + 1 = 13 = 10 + a, como a é um número menor do que 10, temos então que a = 3.

Por fim, 1 + 1 + c = 4, ou seja, c = 2.

Portanto:

b . c^-a = 8 . 2^-3 = 1

Alternativa D.

19) Um investidor dispõe de R$ 200,00 por mês para adquirir o maior número possível de ações de certa empresa. No primeiro mês, o preço de cada ação era R$ 9,00. No segundo mês houve uma desvalorização e esse preço caiu para R$ 7,00. No terceiro mês, com o preço unitário das ações a R$ 8,00, o investidor resolveu vender o total de ações que possuía. Sabendo que só é permitida a negociação de um número inteiro de ações, podemos concluir que com a compra e venda de ações o investidor teve

A) nem lucro nem prejuízo.
B) prejuízo de R$ 6,00.
C) lucro de R$ 6,50.
D) lucro de R$ 6,00.

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A alternativa correta é letra D

No primeiro mês o investidor consegue adquirir 22 ações por R$9,00 cada, totalizando um gasto de R$198,00.
No segundo mês o investidor adquire 28 ações por R$7,00 cada, totalizando um gasto de R$196,00.
Somando a quantia gasta nos dois meses e o número de ações que o investidor possui, temos que foi gasto um total de R$394,00 com 50 ações.
As 50 ações foram vendidas por R$8,00 cada, logo, o investidor recebeu o total de

50 \times 8 = 400

reais. Como foram gastos R$394,00 e o investidor ganhou R$400,00, fica claro que houve um lucro de

400 - 394 = 6

reais. Alternativa D.

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20) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi

A) 110.
B) 120.
C) 130.
D) 140.
E) 150.

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A alternativa correta é letra C

Como cada caixa continha 24 frascos, sendo 2 frascos de limão a mais do que de coco.

Vamos colocar os dados em uma expressão:

24 = (x) + (x+2)

Sendo 24 o número total de frascos, (x) o número de frascos de coco, e (x+2) o número de frascos de limão.

Resolvendo:

24 = x + x + 2

24 - 2 = 2x

22 = 2x

x = 22/2

x = 11

Como (x+2) é o número de frascos de limão:

x + 2 = 11 + 2 = 13

O número de frascos de limão em cada caixa é 13.

Como são 10 caixas:

10 x 13 = 130.

Alternativa C.

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