Qual é o valor da expressão: [10² + 20² + 30² +…+ 100²] – [9² + 19² + 29² + … + 99²]?

Resposta:

A alternativa correta é letra B

A equação completa seria

\begin{array}{l} [10^{2} + 20^{2} + 30^{2} + 40^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 70^{2} + \\ 80^{2} + 90^{2} + 100^{2}] - [9^{2} + 19^{2} + 29^{2} + 39^{2} + \\ 49^{2} + 59^{2} + 69^{2} + 79^{2} + 89^{2} + 99^{2}] \end{array}

Agrupando dois a dois o números, teremos

\begin{array}{l} 10^{2} - 9^{2} + 20^{2} - 19^{2} + 30^{2} - 29^{2} + 40^{2} - 39^{2} \\ + 50^{2} - 49^{2} + 60^{2} - 59^{2} + 70^{2} - 69^{2} + 80^{2} \\ - 79^{2} + 90^{2} - 89^{2} + 100^{2} - 99^{2} \end{array}

Sabemos que

\begin{array}{l} (10^{2} - 9^{2}) = 10^{2} - (10 - 1)^{2} = \\ 10^{2} - 10^{2} + 20 - 1 = 19 \\ (20^{2} - 19^{2}) = 20^{2} - (20 - 1)^{2} = \\ 20^{2} - 20^{2} + 40 - 1 = 39 \end{array}

E assim sucessivamente. Generalizando os resultados obtidos temos que

n^{2} - (n - 1)^{2} = 2 n - 1

Assim o resultado da equação será:

\begin{array}{l} 19 + 39 + 59 + 79 + 99 + 119 + 139 + 159 \\ + 179 + 199 = 1090 \end{array}

Alternativa B