Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é

Sejam a e b os dois números em questão:

A Média Aritmética dos dois números é 15, logo:

$$\begin{gathered} MA(a,b) =15 \Rightarrow \frac{a+b}{2}=15 \\ \Rightarrow a +b = 30 \end{gathered}$$

A Média Geométrica dos dois números é 12, logo:

$$\begin{gathered} MG(a, b) = 12 \Rightarrow \sqrt{a.b}=12 \\ \Rightarrow a . b =144 \end{gathered}$$

Agora, precisamos montar uma equação de 2º grau onde as raízes tenham soma 30 e produto 144.

Pela teoria da soma e produto de raízes, sabemos que o termo b da equação de 2º grau é a soma das raízes e que o termo c é o produto das raízes.

Logo,

$$\begin{gathered} x^{2 }- (a+b) x + a. b = 0 \\ {x}^2-30x + 144 = 0 \end{gathered}$$

Portanto a alternativa correta é a letra C.