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Questões Sobre Inequações do 1º e do 2º grau - Matemática - Vestibular Tradicional

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11) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x² – 20x + 2m > 0, para todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por

  • A) m > 10.
  • B) m > 25.
  • C) m > 30.
  • D) m < 5.
  • E) m < 30.
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A alternativa correta é letra B

Pela fórmula de Bhaskara, sabemos que a inequação só terá solução se Δ < 0, logo temos:
-202-4.2.2m<0⇒400-16m<0⇒
⇒m>25.

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12) Quantos são os valores inteiros de x que satisfazem –2 ≤ 2x + 5 ≤ 10 ?

  • A) Infinitas.
  • B) 6.
  • C) 4.
  • D) 7.
  • E) 5.
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A alternativa correta é letra B

Destrinchando a expressão –2 ≤ 2x + 5 ≤ 10 temos que
2x + 5  102x +5  2 basta encontrar os valores inteiros de x que satisfaçam o sistema acima. 
2x + 5  10  x  10 - 52 x   522x +5  2  x  -2 -52 x  -72
Portanto -72 x 52, que é equivalente a -3,5  x  2,5
Existem 6 números inteiros que pertencem ao intervalo (-3.5, 2.5), são esses -3, -2, -1, 0, 1, 2. Logo, B é a alternativa correta.  

13) Uma urna contém n bolas, algumas vermelhas e outras pretas. Na retirada das primeiras 50 bolas, 49 delas eram vermelhas. Nas novas retiradas, após as 50 primeiras, 7 em cada 8 bolas eram vermelhas. Se, ao término da retirada de todas as bolas, 90% ou mais das bolas retiradas eram vermelhas, o maior valor possível para n é

  • A) 225.
  • B) 210.
  • C) 200.
  • D) 180.
  • E) 175.  
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A alternativa correta é letra B

O número total de bolas vermelhas é dado por:

49 + 78(n-50)  910 . n49 + 78(n-50)  910 . n  . 40  = 49. 40+7. 5. (n-50)  9 . 4 . n 1960 + 35n -1750 36n210  nPortanto, o maior valor possível de n é 210.
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14) Dada a inequação [3^(x/2)]^(x-1) ⩾ (3/9)^(x-3), o conjunto verdade V, considerando o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por

  • A) V = {x‬∈ℝ, x ≤ – 3 ou x ≥ 2}.
  • B) V = {x∈ℝ, ‬x ≤  3 e x ≥ – 2}.
  • C) V = {x ∈ℝ, ≤ 3 ‬x ≤ 2}.
  • D) V = {x ∈ℝ‬, x ≤ – 3}.
  • E) V = {x ∈ℝ, x≥ 2}.
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A alternativa correta é letra A

3x2x-1≥ 3-1x-33×22-x2 ≥3-x+3×22-x2 ≥ -x+3×2-x≥ -2x+6×2 +x-6 ≥ 0
Resolvendo a inequação, usando método equação 2° grau

a=1 , b=1, c=-6.

∆ = b2  – 4ac     =1 + 24 = 25x= -b ± ∆2a = -1 ± 52×1= 2×2 = -3
Portanto, o intervalo, será:

V=X ∈ ℝ/ x≤-3 ou x⩾2 

15) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se

  • A) x + 3y 7 e 20x + 15y 60
  • B) x + 3y 7 e 20x + 15y 60
  • C) x + 20y 7 e 3x + 15y 60
  • D) x + 20y 7 e 3x + 15y 60
  • E) x + 15y 7 e 3x + 20y 60
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A alternativa correta é letra A

Ingestão diária de Vitamina A  7 mg
Ingestão diária de Vitamina D  60 μg
 
Quantidade de nutrientes nos alimentos:
 
1 litro de leite fornece:
     1mg de vitamina A e 20 μg de vitamina D
1 pacote de cereais fornece:
     3mg de vitamina A e 15 μg de vitamina D
Sendo x a quantidade de litros de leite ingeridos e y a quantidade de pacotes de cereais ingeridos. Têm-se:
 
Vitamina A:
     x (1 mg) + y (3 mg)  7 mg
 x + 3y  7
Vitamina D:
     x (20 μg) + y (15 μg)  60μg
 20x + 15y  60
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16) O conjunto solução da inequação x² – 3x – 10 < 0 é

  • A) (∞, - 2)
  • B) (-∞-2) U (5, ∞)
  • C) (- 2, 5)
  • D) (0, 3)
  • E) (3, 10)
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A alternativa correta é letra C

Por bhaskara sabemos que:
xr=-b±b2-4.a.c2.axr=-(-3)±(-3)2-4.(-10)2xr=3±492

Logo:
x1=3-72=-2x2=3+72=5

Como o valor de A para a inequação é positivo o gráfico de tal função possui concavidade para cima, logo a inequação será negativa para valores entre as raízes, assim:
 x² - 3x – 10 < 0 para  -2 < x < 5

Assim a letra correta é a Letra C

 

17) Considere a sentença: para qualquer x pertencente ao conjunto M, tem-se x²> x . Assinale a alternativa que apresenta um possível conjunto M.

  • A) -2;-12;12
  • B) -12; 0; 2
  • C) -2;-12; 2
  • D) -1;1;2
  • E) 0; 12; 1
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A alternativa correta é letra C

Como

122=14<12 então as alternativas A e E estão incorretas.
Como

02=0 então a alternativa B está incorreta.
Como

12=1 então a alternativa D está incorreta.
Portanto, a alternativa correta é a C.

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18) O lucro de uma empresa é dado pela função quadrática L(x) = -x²+8x-7,  em que  é a quantidade vendida. O lucro será positivo se, e somente se:

  • A)
    x<12
  • B)
    2<x<5
  • C)
    0<x<12
  • D)
    x>7 ou x<1
  • E)
    1<x<7
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A alternativa correta é letra E

Como a função é negativa sua concavidade é para baixo.
Por bhaskara obtemos as raizes.

xr = -b ±b2-4.a.c2.a= -8 ±82-4.(-1).(-7)2.(-1)xr = -8 ±64-28-2= -8 ±64-28-2= -8 ±6-2×1 =-8 +6-2=1×2 =-8 -6-2=7

Com isso podemos concluir que a função será positiva se

1<x<7

Assim a alternativa correta é a letra E

19) A solução do sistema -2x+9 > 0 e -x+1 ⩽ 0 para x Є ℝ é:

  • A) { x Є ℝ| 1 ≤ x < 9/2}
  • B) { x Є ℝ| 2 ≥ x < 4}
  • C) { x Є ℝ| – 1 ≤ x > – 3/4}
  • D) { x Є ℝ| – 2 ≥ x < – 3}
  • E) { x Є ℝ| – 1 ≥ x > – 9/2}
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A alternativa correta é letra A

Para a solução do sistema devemos obter um intervalo de X tal que as duas condições sejam satisfeitas, logo, para a primeira condição temos:

-2x+9>0 ⇒ -2x>-9 ⇒ 2x<9 ⇒ x<92

Na segunda condição temos:

-x+1 ≤0 ⇒ -x≤-1 ⇒ x≥1

Juntando as duas condições encontramos que:

1≤x<92

Logo a resposta correta é a letra A

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20) Um homem com apenas R$ 20,00 comprou coco e abacaxi em uma feira. A unidade do coco custou R$ 2,00 e a do abacaxi, R$ 4,00. Com o dinheiro que possuía, a maior quantidade dessas frutas que ele pode ter comprado é:

  • A) 9.
  • B) 8.
  • C) 7.
  • D) 6.
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A alternativa correta é letra A

Seja C a quantidade de cocos adquiridos e A a quantidade de abacaxis adquiridos então o valor pago pelos cocos é equivalente a 2 C e o valor pago pelos abacaxis é equivalente a 4 A. Portanto, a soma dos valores pagos deve ser menor ou igual a 20 reais, isto é, 2 C space plus space 4 A space less or equal than space 20. Simplificando a inequação temos que 
2 C space plus space 4 A space less or equal than space 20 space rightwards double arrow
2 left parenthesis C space plus space 2 A right parenthesis space less or equal than space 20 space rightwards double arrow
C space plus space 2 A space less or equal than space 10 space
Perceba que o número de abacaxis comprados deve ser sempre o dobro do número de cocos.

Seja x a quantidade de frutas compradas, temos que 
C space plus space 2 A space less or equal than space 10 space rightwards double arrow
x space plus space 2 x space less or equal than space 10 space space rightwards double arrow
3 x space less or equal than space 10 space space rightwards double arrow
x space less or equal than space 3 comma 333 space space rightwards double arrow
x space less or equal than space 3

Como devem ser adquiridos C + 2A frutas, tome C = A = 3. Portanto, podem ser adquiridas C space plus space 2 A space equals space 3 plus 2 times 3 space equals space 3 plus 6 space equals space 9 unidades de fruta. 
Alternativa A.
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