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No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém
- A) 76 ladrilhos.
- B) 156 ladrilhos.
- C) 112 ladrilhos.
- D) 148 ladrilhos.
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Resposta:
A alternativa correta é letra D
Das informações e da figura contidas no enunciado, podemos facilmente perceber que os lados dos quadrados formados por ladrilhos cinza seguem a seguinte progressão aritmética: (2, 6, 10, ... ), de razão 4. Sendo assim, o termo an dessa PA é dado por:
an = a1 + (n-1)r
an = 2 + (n-1)4
an = 2 + 4n - 4
an = 4n -2
Analogamente, os lados dos quadrados formados por ladrilhos cinza seguem a seguinte PA: (4, 8, ... ), também de razão 4. Na n-ésima faixa cinza, teremos o termo an-1 da PA, que é tal que:
an-1 = a1 + (n-1-1)r
an-1 = 4 + (n-2)4
an-1 = 4 + 4n - 8
an-1 = 4n - 4
O total de quadrados da n-ésima faixa cinza é dado por:
2(4n -2) + 2(4n-4) = 16n - 12,
já que os ladrilhos das pontas são contados em apenas um dos lados a que pertencem, fazendo com que o outro lado conte apenas com o número de ladrilhos da camada de ladrilhos brancos.
Logo, a 10ª camada de ladrilhos cinza conta com 16.10-12 = 148 ladrilhos, o que nos remete à alternativa D.
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