Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é

A) 5.
B) 6.
C) 7.
D) 8.
E) 9.

Continua após a publicidade..

Resposta:

A alternativa correta é letra A

Neste problema, utilizando as fórmulas de soma dos n primeiros termos e do termo geral da PA, temos duas incógnitas: n e a_n, o n-ésimo termo, o que nos dá um sistema de duas equações e duas incógnitas.

A partir da soma dos n primeiros termos, temos:

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2} \\ \frac{20}{3} = \frac{n \cdot (\frac{1}{3} + a_{n})}{2} \\ \frac{40}{3 n} = \frac{1}{3} + a_{n} \\ a_{n} = \frac{40}{3 n} - \frac{1}{3} (I) \end{array}

A partir da fórmula do termo geral:

\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r \\ a_{n} = \frac{1}{3} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} \\ a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \\ a_{n} = - \frac{1}{6} + \frac{n}{2} (I I) \end{array}

Igualando as duas equações e multiplicando a equação resultante por 12n:

\begin{array}{l} \frac{40}{3} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} + \frac{n}{2} \\ 160 - 4 n = - 2 n + 6 n^{2} \\ 6 n^{2} + 2 n - 160 = 0 \end{array}

Resolvendo a equação pela Fórmula de Bháskara:

\begin{array}{l} n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 160)}}{2 \cdot 6} \\ n = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} + 3840}}{12} \\ n = \frac{- 2 \pm \sqrt{3844}}{12} \\ n = \frac{- 2 \pm 62}{12} \\ n_{1} = \frac{- 2 + 62}{12} = \frac{60}{12} = 5 \\ n_{2} = \frac{- 2 - 62}{12} = - \frac{64}{12} = - 5, 333 \end{array}

Como n é o número de termos da PA, e por isso, deve ser um número natural, tem-se que n = n₁ = 5, o que vai de acordo com a alternativa A.

Continua após a publicidade..

Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é

Resposta:

Deixe um comentário Cancelar resposta