Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

Os ângulos internos do polígono constituem a PA (a1, a2, ..., an) de razão r = 5º e n = 9 termos. A soma dos 9 termos é igual a 1260º, e é dada por:

 

S_n = (a₁ + a_n).n/2

S₉ = (a₁ + a₉).9/2

1260º = (a₁ + a₉).9/2

280º = a₁ + a₉

a₁ = 280º - a₉ (I)

 

Pela fórmula do termo geral da PA, temos:

 

a_n = a₁ + (n-1).r

a₉ = a₁ + (9-1).5º

a₉ = a₁ + 40º (II)

 

Substituindo (I) em (II), temos:

 

a₉ = 280º - a₉ + 40º

2a₉ = 320º

a₉ = 160º

 

Alternativa E.

Uma progressão aritmética (P.A.) é aquela que possui uma razão aritmética r_a, que é somada ao termo anterior repetidamente, conforme se desenvolve. Tal razão sempre será igual à diferença de dois termos consecutivos, na forma:

r_a = t_x – t_x-1

Para calcularmos a razão desta progressão, basta subtrair o valor de 2017 no valor de 2018:

r_a = X₂₀₁₈ – X₂₀₁₇ = 12.642 – 10.920 = 1.722

Agora, basta determinarmos o termo correspondente ao ano de 2027, que será o 11º da P.A., considerando 2017 como o 1º. Este termo será o equivalente ao termo inicial mais 10 vezes a razão, adicionada entre um termo e outro:

t₁₁ = t₁ + 10 × r_a
t₁₁ = 10920 + 10 × 1.722 = 10.920 + 17.220 = 28.140

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

Consideramos que o número de pessoas da festa será $\mathrm{n}\ge 2$ para que seja dado pelo menos um aperto de mãos. Com esse raciocínio serão dados n-1 apertos de mão na festa sendo n o número total de pessoas. Utilizando a fórmula para o cálculo de números triangulares temos que:

$$\begin{gathered} {\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2} \\ {\mathrm{T}}_{\mathrm{n}-1}=\frac{(\mathrm{n}-1).(\mathrm{n}-1+1)}{2} \\ 2\times 78={\mathrm{n}}^2-\mathrm{n} \\ {\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}-156=0 \end{gathered}$$

Resolvendo a equação pelo Teorema de Bhaskara e lembrando que $\mathrm{n}\ge 2$ temos que $\mathrm{n}=13$ pessoas.

 

Sendo (a; b; 3; c) uma progressão aritmética de razão r, temos:
a = 3 – 2r; b = 3 – r e c = 3 + r
Como a soma de seus elementos é igual a 8,
a + b + 3 + c = 8 ⇔
⇔(3 – 2r) + (3 – r) + 3 + (3 + r) = 8 ⇔r = 2
Logo, na progressão aritmética (– 1; 1; 3; 5), o produto de seus elementos é (– 1) . 1 . 3 . 5 = – 15
 

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

Sabemos sobre progressões aritiméticas que:

$a_n=a_1+(n-1).r$ 

onde r é a razão, nesse caso r=6, n é a quantidade de termos e a₁ e a_n são os termos da sequência. 

Do enunciado sabemos que a_n = 136 e a₁ = 40, portanto substituindo na equação temos:

$136=40+(n-1).6\Rightarrow n=17$.

Portanto o número de sábados que se passaram exluindo o dia da inauguração até a progressão atingir seu máximo de 136 pessoas, foi de:

As altitudes percorridas pelo balão a cada hora constituem uma PA de razão r = -50. Sabendo que a₁ = 1000 e S_n = 6600, temos que, pela soma dos n primeiros termos:

 

S_n = (a₁ + a_n).n/2

6600 = (1000 + a_n).n/2

13200 = (1000 + a_n).n (I)

 

Pela fórmula do termo geral da PA:

 

a_n = a₁ + (n-1).r

a_n = 1000 + (n-1).(-50)

a_n = 1000 - 50n + 50

a_n = 1050 - 50n (II)

 

Substituindo (II) em (I):

 

13200 = (1000 + 1050 - 50n).n

13200 = 2050n - 50n²

n² - 41n + 264 = 0

 

Resolvendo a equação de 2º grau acima por soma e produto, temos:

 

S = 41

P = 264

 

O que trás como resultado:

 

n = 8 ou n = 33

 

Calculando a_n para os valores de n encontrados, temos:

 

a₈ = 1000 + 7.(-50) = 650

a₃₃ = 1000 + 32.(-50) = -600

 

Como as distâncias a serem subidas não podem ser negativas, o que significa que o balão estaria descendo, temos como resposta correta n = 8 anos, o que remete à alternativa C.

Como resultado da interpolação, temos uma PA com n = 9 termos, na qual a razão é calculada pela fórmula do termo geral da PA:

 

a_n = a₁ + (n-1).r

98 = 10 + (9-1).r

8r = 88

r = 11

 

Ainda usando a fórmula do termo geral, calculamos o termo geral, que é o 5º termo:

 

a₅ = a₁ + (5-1).11

a₅ = 10 + 44

a₅ = 54

 

Alternativa C.

Considerando que:

E₁₉₈₀: expectativa de vida em 1980

E₂₀₅₀: expectativa de vida em 2050

e que esses dados fazem parte de uma Progressão Aritmética com r = 0,267, temos:

Das informações e da figura contidas no enunciado, podemos facilmente perceber que os lados dos quadrados formados por ladrilhos cinza seguem a seguinte progressão aritmética: (2, 6, 10, ... ), de razão 4. Sendo assim, o termo a_n dessa PA é dado por:

a_n = a₁ + (n-1)r

a_n = 2 + (n-1)4

a_n = 2 + 4n - 4

a_n = 4n -2

Analogamente, os lados dos quadrados formados por ladrilhos cinza seguem a seguinte PA: (4, 8, ... ), também de razão 4. Na n-ésima faixa cinza, teremos o termo a_n-1 da PA, que é tal que:

a_n-1 = a₁ + (n-1-1)r

a_n-1 = 4 + (n-2)4

a_n-1 = 4 + 4n - 8

a_n-1 = 4n - 4

O total de quadrados da n-ésima faixa cinza é dado por:

2(4n -2) + 2(4n-4) = 16n - 12,

já que os ladrilhos das pontas são contados em apenas um dos lados a que pertencem, fazendo com que o outro lado conte apenas com o número de ladrilhos da camada de ladrilhos brancos.

Logo, a 10ª camada de ladrilhos cinza conta com 16.10-12 = 148 ladrilhos, o que nos remete à alternativa D.