Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

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21) Sabendo-se que x², x²+11 e 4x²+3x+16 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, os valores de x pertencem ao conjunto:

A) {-3, -2}
B) {-3, -1}
C) {-2, 0}
D) {-4, -2}
E) {-2, 1}

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A alternativa correta é letra E

A razão de uma Progressão Aritmética é dada por:

r = a3 - a2 = a2 - a1

Substituindo os termos na igualdade, temos:

4x² + 3x + 16 - (x² + 11) = x² + 11 - (x²)

3x² + 3x + 5 = 11

3x² + 3x - 6 = 0

x² + x - 2 = 0

Resolvendo a equação acima por soma e produto, temos:

S = -1

P = -2,

o que trás como resultado:

x = -2 e x = 1

Alternativa E.

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22) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia, 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21.º dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de:

A) 125 500 m.
B) 105 000 m.
C) 90 000 m.
D) 87 500 m.
E) 80 000 m.

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A alternativa correta é letra B

No primeiro dia, a pessoa caminhará:

a_{1} = x metros

no segundo dia:

a_{2} = a_{1} + 100 metros

no terceiro dia:

a_{3} = a_{2} + 100 metros

e assim por diante.

Nota-se que o número de metros que a pessoa caminha segue um P.A. de razão 100 m.

Como no 21º dia, esta pessoa caminhará 6000 m, tem-se então que:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \times r \Rightarrow a_{21} = a_{1} + 20 \times 100 \Rightarrow a_{1} = 6000 - 2000 \Rightarrow a_{1} = 4000 metros

Deseja-se saber a distância total percorrida, portanto, deseja-se determinar a soma dos termos desta P.A.:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) . n}{2} S_{21} = \frac{(4000 + 6000) . 21}{2} = 105000 metros

23) Se os primeiros quatro termos de uma progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente d/b é igual a

Se os primeiros quatro termos de uma progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente d/b é igual a

A) 1/4.
B) 1/3.
C) 2.
D) 7/3.
E) 5.

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A alternativa correta é letra D

De acordo com o enunciado, a progressão aritmética (a₁, a₂, a₃, a₄) é dada por (a, b, 5a, d). Da expressão geral dos termos de uma PA, temos que:

a_n = a₁ + (n-1)r

a₃ = a₁ + (3-1)r

5a = a + 2r

2r = 4a

r = 2a

Sendo assim, podemos calcular o segundo termo, b, em função do primeiro termo, a:

a₂ = a₁ + r

b = a + r

b = a + 2a

b = 3a

Analogamente, podemos calcular o último termo, d, em função do primeiro termo, a:

a₄ = a₃ + r

d = 5a + 2a

d = 7a

Finalmente, é possível calcular o quociente d/b:

d/b = 7a/3a = 7/3.

Alternativa D.

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24) Determine a soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1 e 1995.

A) 198000.
B) 19950.
C) 199000.
D) 1991010.
E) 199900.

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A alternativa correta é letra C

Os múltiplos de 10 que estão entre 1 e 1995 formam uma PA pois o primeiro termo é 10 e a cada 10 números obtemos outro múltiplo de 10.

O maior múltiplo de 10 entre 1 e 1995 é o número 1990, como se verifica facilmente.

O termo geral de uma PA é dado por a_n=a₁+(n-1)r, sendo a₁=10, a_n=1990 e r=10 obtemos da expressão acima que n=199. Portanto a soma de todos os múltiplos de 10 entre 1 e 1995 é uma soma de PA com 199 termos.

A soma de uma PA como acima é dada por:

S_{199} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

, portanto obtemos

S_{199} = \frac{199 (10 + 1990)}{2} = \frac{199.2000}{2} = 199000

25) As prestações de um financiamento imobiliário constituem uma progressão aritmética na ordem em que são pagas. Sabendo que a 15a prestação é R$ 3.690,00 e a 81a prestação é R$ 2.700,00, o valor da 1a prestação é:

A) R$ 3.800,00
B) R$ 3.850,00
C) R$ 3.900,00
D) R$ 3.950,00
E) R$ 4.000,00

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A alternativa correta é letra C

Se a 15^a prestação é R$ 3.690,00 e a 81ª prestação é R$ 2.700,00 então o valor da prestação, num total de:

81 - 15 = 66 meses

caiu em R$ 990,00. Portanto, o valor da prestação caiu em:

990 \div 66 = R $ 15

a cada mês. Logo, até chegar na 15^a prestação houve uma redução de:

15 \times 14 = R $ 210

então a primeira prestação será equivalente a:

3.690 + 210 = R $ 3.900

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

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26) Em um painel de forma pentagonal foi colocado em cada vértice uma única lâmpada. As lâmpadas foram numeradas consecutivamente de 1 a 5, exatamente conforme a figura.

O circuito elétrico do painel foi instalado sobre uma mesa e testado de modo que, ao ser ligado, as lâmpadas acendem e apagam, sequencialmente, uma de cada vez, obedecendo ao seguinte critério:
• se a lâmpada que é apagada tem um número par, a lâmpada que se acenderá a seguir é a mais próxima no sentido horário;
• se a lâmpada que é apagada tem um número ímpar, a lâmpada que se acenderá a seguir é a segunda mais próxima no sentido horário.
Considere que o painel é ligado. Se a primeira lâmpada a ser acesa é a de número 4, então a décima lâmpada que acenderá é a de número:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

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A alternativa correta é letra C

Iniciando na lâmpada número 4, e 4 sendo um número par, a segunda lâmpada que acenderá será a de número 5. Como 5 é ímpar, a terceira lâmpada que acenderá será a de número 2. Assim, a quarta será de número 3, a quinta de número 5, a sexta de número 2. Podemos observar um padrão. A lâmpada de número 2 acenderá nas vezes que forem múltiplas de três, ou seja, a lâmpada número 2 será a terceira a acender, a sexta, a nona, a décima segunda, a décima quinta e assim por diante. A lâmpada de número 5 acenderá sempre antes da lâmpada de número 2, ou seja, será a quinta, a oitava, a décima primeira, a décima quarta lâmpada a acender. E a lâmpada de número 3 acenderá sempre depois da lâmpada de número 2, ou seja, será a quarta, sétima, décima, décima terceira lâmpada a acender. Assim, a décima lâmpada a acender será a de número 3. Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

27) Numa progressão aritmética o termo geral é an = 3n+2. A soma dos 20 primeiros termos é:

A) 62
B) 670
C) 310
D) 67
E) 620

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A alternativa correta é letra B

O termo geral de uma P.A. é dado por:

a_n = a₁ + (n - 1).r

Igualando à expressão dada:

3n + 2 = a₁ + (n - 1).r

3n + 2 = a₁ + r.n - r

Dessa equação, temos que a₁ - r = 2 e r = 3, portanto, a₁ = 5.

Calculamos a₂₀ através do termo geral:

a₂₀ = 3.20 + 2

a₂₀ = 62

A soma dos 20 primeiros termos é dada por:

S₂₀ = (a₁ + a₂₀).20/2

S₂₀ = 67.10

S₂₀ = 670

Alternativa B.

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28) Em 2015, um arranha-céu de 204 metros de altura foi construído na China em somente 19 dias, utilizando um modelo de arquitetura modular pré-fabricada. Suponha que o total de metros de altura construídos desse prédio varie diariamente, de acordo com uma Progressão Aritmética (PA), de primeiro termo igual a 12,5 metros (altura construída durante o primeiro di

A), e o último termo da PA igual a x metros (altura construída durante o último di

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A alternativa correta é letra D

Os termos da PA representam a quantidade de metros construídos por dia; como o prédio foi construído em 19 dias, então a PA possuirá 19 termos, isto é:

n = 19

O arranha-céu possui 204 metros, então, a soma de todos os termos da PA será:

S_n = 204

O primeiro termo é igual a:

a₁= 12,5 (metros)

Assim, basta calcularmos o valor de x, isto é, a_n, conforme segue:

204 = \frac{(12, 5 + x) \times 19}{2}

\frac{204 \times 2}{19} - 12, 5 = x

x ≅ 9

Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

29) As somas dos n primeiros termos das sequências aritméticas (8,12,…) e (17,19,…) são iguais. Então, n vale:

A) 18
B) 16
C) 14
D) 10
E) 12

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A alternativa correta é letra D

Primeiramente, escrevemos os n-ésimos termos de cada PA em função de n:

a_n = a₁ + (n-1).r

a_n = 8 + (n-1).4

a_n = 8 + 4n - 4

a_n = 4 + 4n

a_n = a₁ + (n-1).r

a_n = 17 + (n-1).2

a_n = 17 + 2n - 2

a_n = 15 + 2n

Agora, escrevemos a soma dos n primeiros termos para as duas PAs, e igualamos as duas:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

S_n = (8 + (4 + 4n)).n/2

S_n = (a₁ + a_n).n/2

S_n = (17 + (15 + 2n)).n/2

(8 + (4 + 4n)).n/2 = (17 + (15 + 2n)).n/2

12 + 4n = 32 + 2n

2n = 20

n = 10

Alternativa D.

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30) Um vestibulando atrasou a resolução dos exercícios da sua apostila e resolveu colocá-los em dia. No primeiro dia resolveu 10 exercícios e propôs-se a, diariamente, resolver três exercícios a mais que no dia anterior. Sabendose que eram 413 os exercícios atrasados, o estudante gastou, para pô-los em dia:

A) 28 dias.
B) 7 dias.
C) 20 dias.
D) 42 dias.
E) 14 dias.

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A alternativa correta é letra E

Podemos considerar o número de exercícios resolvidos por dia como sendo uma PA (10, 13, 16, 19, 22, 25, ...).

O estudante vai acabar todos os exercícios quando a soma de todos os exercícios for igual a 413.

A soma de uma PA é dada por

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{n (a_{1} + (a_{1} + (n - 1) r))}{2}

= n a_{1} + \frac{r n}{2} (n - 1)

, onde a₁=10, r=3 e S_n =413; substituindo obtemos

1, 5 n^{2} + 8, 5 n - 413 = 0

, que tem como raiz positiva 14.

Portanto, demorará 14 dias para que o estudante por tudo em dia.

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