Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

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31) Uma progressão aritmética (PA) é constituída de 15 números inteiros com razão igual a 2. Sabendo que a média aritmética dos quinze números é 46, podemos concluir que o maior deles é

A) 60.
B) 63.
C) 62.
D) 64.
E) 61.

A alternativa correta é letra A

Se a média aritmética do quinze números é 46, então

\frac{x}{15} = 46 \Leftrightarrow x = 690

, onde x representa a soma dos quinze números.
Supondo que y represente o primeiro número dessa PA, então o segundo será

y + 2 = y + (2 \cdot 1)

, o terceiro será

(y + 2) + 2 = y + (2 \cdot 2)

, o quarto será

(y + 2 + 2) + 2 = y + (2 \cdot 3)

, portanto, o décimo quinto será

y + (2 \cdot 14) = y + 28

.
Usando a soma dos termos de uma PA temos que

\frac{[y + (y + 28)] \cdot 15}{2} = 690 \Leftrightarrow 2 y + 28 = 92 \Leftrightarrow y = 32

Portanto, o décimo quinto termo será

y + 28 = 32 + 28 = 60

. Alternativa A.

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32) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: • os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; • o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; • os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

A) 30.000.
B) 33.000.
C) 36.000.
D) 39.000.

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A alternativa correta é letra B

13 multas no total - 2 que não geram multa= 11 multas
Observando os valores das multas(500,1000,1500,...) observamos que temos uma PA de razão 500 e queremos descobrir qual a soma dos 11 primeiros termos dessa PA, mas para isso é necessário descobrir primeiro qual o 11º. Substituindo na fórmula do enésimo termo, obtemos:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r = 500 + (11 - 1) 500 = 5500

Depois substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PA, obtemos:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} = \frac{(500 + 5500) 11}{2} = 33 000

33) Sejam as sequências (75, a2, a3, a4, …) e (25, b2, b3, b4, …) duas progressões aritméticas de mesma razão. Se a100+ b100 = 496, então a100b100 é igual a

A) $\frac{273}{223}$ .
B) $\frac{269}{219}$ .
C) $\frac{247}{187}$ .
D) $\frac{258}{191}$ .
E) $\frac{236}{171}$ .

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A alternativa correta é letra A

Pelo termo geral da PA temos

a_{100} = a_{1} + 99 r = 75 + 99 r

b_{100} = b_{1} + 99 r = 25 + 99 r

. Somando temos

a_{100} + b_{100} = 75 + 25 + 198 r = 496

, simplificando obtemos r=2. Portanto a₁₀₀=273 e b₁₀₀=223.

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34) O 3º termo de uma PA é 11 e a razão é 4. A soma dos 20 primeiros termos é:

A) 790
B) 800
C) 810
D) 820
E) 830

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A alternativa correta é letra D

Primeiramente, a partir da fórmula do termo geral da PA de n = 20 termos, com o termo a₃ = 11 e a razão r = 4 dados, calculamos a₁ e a₂₀:

a_n = a₁ + (n-1).r

a₃ = a₁+ (3-1).4

11 = a₁ + 2.4

a₁ = 11 - 8

a₁ = 3

a₂₀ = a₁ + (20-1).4

a₂₀ = 3 + 19.4

a₂₀ = 3 + 76

a₂₀ = 79

A partir de a₁ e a₂₀, calculamos a soma dos 20 primeiros termos:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

S₂₀ = (a₁ + a₂₀).20/2

S₂₀ = (3 + 79).10

S₂₀ = 820

Alternativa D.

35) Uma empresa projetou as receitas mensais para o ano 2010 do seguinte modo: • A receita para janeiro é R$ 1 250 000,00. • Em cada mês, a receita é R$ 40 000,00 superior à do mês anterior. Nessas condições, a receita prevista para todo o ano de 2010 é:

A) R$ 17 520 000,00.
B) R$ 17 560 000,00.
C) R$ 17 680 000,00.
D) R$ 17 600 000,00.
E) R$ 17 640 000,00.

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A alternativa correta é letra E

Os valores das receitas mensais formam uma PA cujo primeiro termo é 1250000 e a razão é 40000. A soma dos 12 primeiros termos será a receita do ano de 2010, portanto

S = \frac{(a_{1} + a_{12}) . 12}{2} = 6 . (2 a_{1} + 11 r)

, substituindo obtemos

S = 17 640 000, 00

R$.

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36) O 24º termo da P.A. 12, 2, 72, … é:

A) $35$ .
B) $45$ .
C) $28$ .
D) $38$ .
E) $\frac{25}{2}$

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A alternativa correta é letra A

Primeiramente, calculamos a razão da PA, através da fórmula do termo geral:

a_n = a₁ + (n-1).r

a₂ = a₁ + (2-1).r

2 = 1/2 + r

r = 3/2

Ainda usando a fórmula do termo geral, calculamos o 24º termo:

a₂₄ = a₁ + (24-1).r

a₂₄ = 1/2 + 23.3/2

a₂₄ = 1/2 + 69/2

a₂₄ = 70/2

a₂₄ = 35

37) A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminado em 44, vale:

A) 50
B) 40
C) 35
D) 25
E) 20

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A alternativa correta é letra D

Sabemos que os números pares consecutivos entre 6 e 44 totalizam 20 números, portanto, esses números constituem a PA (6, 8, ..., 44) de n = 20 termos e razão r = 2. A soma dos 20 termos é dada por:

S_n = (a₁ + a_n). n/2

S₂₀ = (a₁ + a₂₀).20/2

S₂₀ = (6 + 44).10

S₂₀ = 500

Como a média aritmética de 20 termos é a soma dos 20 termos dividido por 20, temos que a média m é dada por:

m = S₂₀/20

m = 500/20

m = 25

Alternativa D.

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38) As medidas dos lados de um triângulo são 8, (x+3) e 20 e estão, nessa ordem, em PA. O perímetro desse triângulo é:

A) 34
B) 40
C) 42
D) 68
E) 80

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A alternativa correta é letra C

Pela definição da razão da PA, temos:

r = a₂ - a₁ = a₃ - a₂

x + 3 - 8 = 20 - x - 3

2x = 22

x = 11

Sendo assim, os lados do triângulo são iguais a: 8, 11+3, 20, ou seja, 8, 14, 20, e o perímetro é dado por:

P = 8 + 14 + 20

P = 42

Alternativa C.

39) (PUC-RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui:

A) R$ 200,00
B) R$ 180,00
C) R$ 150,00
D) R$ 120,00
E) R$ 100,00

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A alternativa correta é letra A

Pela fórmula do termo geral da PA, temos:

a₅ = a₂ + (5-2).r

400 - 250 = 3r

3r = 150

r = 50

a₂ = a₁ + r

250 = a₁ + 50

a₁ = 200

Alternativa A.

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40) Numa PA limitada em que o 1º termo é 3 e o último termo é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa PA tem:

A) 8 termos
B) 10 termos
C) 16 termos
D) 26 termos
E) 52 termos

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A alternativa correta é letra A

A soma dos primeiros n termos de uma PA é dada por:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

Nessa PA, S_n = 136, a₁ = 3 e a_n = 31, então:

136 = (3+31).n/2

136 = 34n/2

136 = 17n

n = 8 termos

Alternativa A.

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