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Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

31) Uma progressão aritmética (PA) é constituída de 15 números inteiros com razão igual a 2. Sabendo que a média aritmética dos quinze números é 46, podemos concluir que o maior deles é

  • A) 60.
  • B) 63.
  • C) 62.
  • D) 64.
  • E) 61.
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A alternativa correta é letra A

Se a média aritmética do quinze números é 46, então x15=46  x=690, onde x representa a soma dos quinze números. 
Supondo que y represente o primeiro número dessa PA, então o segundo será y+2 = y+(2·1), o terceiro será  
(y+2)+2 = y+(2·2), o quarto será (y+2+2)+2 = y+(2·3), portanto, o décimo quinto será y+(2·14)=y+28.
Usando a soma dos termos de uma PA temos que [y+(y+28)]·152=6902y+28=92y=32
Portanto, o décimo quinto termo será y+28=32+28=60. Alternativa A.

Questão 32

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:
  • A) 30.000.
  • B) 33.000.
  • C) 36.000.
  • D) 39.000.
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A alternativa correta é letra B

13 multas no total - 2 que não geram multa= 11 multas
Observando os valores das multas(500,1000,1500,...) observamos que temos uma PA de razão 500 e queremos descobrir qual a soma dos 11 primeiros termos dessa PA, mas para isso é necessário descobrir primeiro qual o 11º. Substituindo na fórmula do enésimo termo, obtemos:

an=a1+(n-1)r    =500+(11-1)500   =5500

Depois substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PA, obtemos:
Sn=(a1+an)n2     =(500+5500)112     =33 000

33) Sejam as sequências (75, a2, a3, a4, …) e (25, b2, b3, b4, …) duas progressões aritméticas de mesma razão. Se a100+ b100 = 496, então a100b100 é igual a

  • A) 273223.
  • B) 269219.
  • C) 247187.
  • D) 258191.
  • E) 236171.
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A alternativa correta é letra A

Pelo termo geral da PA temos a100=a1+99r=75+99r e b100=b1+99r=25+99r. Somando temos a100+b100=75+25+198r=496, simplificando obtemos r=2. Portanto a100=273 e b100=223.

34) O 3º termo de uma PA é 11 e a razão é 4. A soma dos 20 primeiros termos é:

  • A) 790
  • B) 800
  • C) 810
  • D) 820
  • E) 830
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A alternativa correta é letra D

Primeiramente, a partir da fórmula do termo geral da PA de n = 20 termos, com o termo a3 = 11 e a razão r = 4 dados, calculamos a1 e a20:
 
an = a1 + (n-1).r
a3 = a1 + (3-1).4
11 = a1 + 2.4
a1 = 11 - 8
a1 = 3
 
a20 = a1 + (20-1).4
a20 = 3 + 19.4
a20 = 3 + 76
a20 = 79
 
A partir de a1 e a20, calculamos a soma dos 20 primeiros termos:
 
Sn = (a1 + an).n/2
S20 = (a1 + a20).20/2
S20 = (3 + 79).10
S20 = 820
 
Alternativa D.

35) Uma empresa projetou as receitas mensais para o ano 2010 do seguinte modo: • A receita para janeiro é R$ 1 250 000,00. • Em cada mês, a receita é R$ 40 000,00 superior à do mês anterior. Nessas condições, a receita prevista para todo o ano de 2010 é:

  • A) R$ 17 520 000,00.
  • B) R$ 17 560 000,00.
  • C) R$ 17 680 000,00.
  • D) R$ 17 600 000,00.
  • E) R$ 17 640 000,00.  
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A alternativa correta é letra E

Os valores das receitas mensais formam uma PA cujo primeiro termo é 1250000 e a razão é 40000. A soma dos 12 primeiros termos será a receita do ano de 2010, portanto S=(a1+a12).122=6.(2a1+11r), substituindo obtemos S=17 640 000,00 R$.

36) O 24º termo da P.A. 12, 2, 72, … é:

  • A) 35.  
  • B) 45.  
  • C) 28.  
  • D) 38.  
  • E) 252
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A alternativa correta é letra A

Primeiramente, calculamos a razão da PA, através da fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1).r
a2 = a1 + (2-1).r
2 = 1/2 + r
r = 3/2
 
Ainda usando a fórmula do termo geral, calculamos o 24º termo:
a24 = a1 + (24-1).r
a24 = 1/2 + 23.3/2
a24 = 1/2 + 69/2
a24 = 70/2
a24 = 35

37) A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminado em 44, vale:

  • A) 50
  • B) 40
  • C) 35
  • D) 25
  • E) 20
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A alternativa correta é letra D

Sabemos que os números pares consecutivos entre 6 e 44 totalizam 20 números, portanto, esses números constituem a PA (6, 8, ..., 44) de n = 20 termos e razão r = 2. A soma dos 20 termos é dada por:
 
Sn = (a1 + an). n/2
S20 = (a1 + a20).20/2
S20 = (6 + 44).10
S20 = 500
 
Como a média aritmética de 20 termos é a soma dos 20 termos dividido por 20, temos que a média m é dada por:
 
m = S20/20
m = 500/20
m = 25
 
Alternativa D.

38) As medidas dos lados de um triângulo são 8, (x+3) e 20 e estão, nessa ordem,  em PA. O perímetro desse triângulo é:

  • A) 34
  • B) 40
  • C) 42
  • D) 68
  • E) 80
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A alternativa correta é letra C

Pela definição da razão da PA, temos:
 
r = a2 - a1 = a3 - a2
x + 3 - 8 = 20 - x - 3
2x = 22
x = 11
 
Sendo assim, os lados do triângulo são iguais a: 8, 11+3, 20, ou seja, 8, 14, 20, e o perímetro é dado por:
 
P = 8 + 14 + 20
P = 42
 
Alternativa C.

39) (PUC-RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui:

  • A) R$ 200,00
  • B) R$ 180,00
  • C) R$ 150,00
  • D) R$ 120,00
  • E) R$ 100,00
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A alternativa correta é letra A

Pela fórmula do termo geral da PA, temos:
 
a5 = a2 + (5-2).r
400 - 250 = 3r
3r = 150
r = 50
 
a2 = a1 + r
250 = a1 + 50
a1 = 200
 
Alternativa A.
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40) Numa PA limitada em que o 1º termo é 3 e o último termo é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa PA tem:

  • A) 8 termos
  • B) 10 termos
  • C) 16 termos
  • D) 26 termos
  • E) 52 termos
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A alternativa correta é letra A

A soma dos primeiros n termos de uma PA é dada por:
 
Sn = (a1 + an).n/2
 
Nessa PA, Sn = 136, a1 = 3 e an = 31, então:
 
136 = (3+31).n/2
136 = 34n/2
136 = 17n
n = 8 termos
 
Alternativa A.
1 2 3 4 5 6