Questões Sobre Progressão Aritmética (P.A) - Matemática - 1º ano do ensino médio

31) Uma progressão aritmética (PA) é constituída de 15 números inteiros com razão igual a 2. Sabendo que a média aritmética dos quinze números é 46, podemos concluir que o maior deles é

A) 60.
B) 63.
C) 62.
D) 64.
E) 61.

A alternativa correta é letra A

Se a média aritmética do quinze números é 46, então

\frac{x}{15} = 46 \Leftrightarrow x = 690

, onde x representa a soma dos quinze números.
Supondo que y represente o primeiro número dessa PA, então o segundo será

y + 2 = y + (2 \cdot 1)

, o terceiro será

(y + 2) + 2 = y + (2 \cdot 2)

, o quarto será

(y + 2 + 2) + 2 = y + (2 \cdot 3)

, portanto, o décimo quinto será

y + (2 \cdot 14) = y + 28

.
Usando a soma dos termos de uma PA temos que

\frac{[y + (y + 28)] \cdot 15}{2} = 690 \Leftrightarrow 2 y + 28 = 92 \Leftrightarrow y = 32

Portanto, o décimo quinto termo será

y + 28 = 32 + 28 = 60

. Alternativa A.

Questão 32

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

A) 30.000.
B) 33.000.
C) 36.000.
D) 39.000.

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A alternativa correta é letra B

13 multas no total - 2 que não geram multa= 11 multas
Observando os valores das multas(500,1000,1500,...) observamos que temos uma PA de razão 500 e queremos descobrir qual a soma dos 11 primeiros termos dessa PA, mas para isso é necessário descobrir primeiro qual o 11º. Substituindo na fórmula do enésimo termo, obtemos:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r = 500 + (11 - 1) 500 = 5500

Depois substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PA, obtemos:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} = \frac{(500 + 5500) 11}{2} = 33 000

33) Sejam as sequências (75, a2, a3, a4, …) e (25, b2, b3, b4, …) duas progressões aritméticas de mesma razão. Se a100+ b100 = 496, então a100b100 é igual a

A) $\frac{273}{223}$ .
B) $\frac{269}{219}$ .
C) $\frac{247}{187}$ .
D) $\frac{258}{191}$ .
E) $\frac{236}{171}$ .

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A alternativa correta é letra A

Pelo termo geral da PA temos

a_{100} = a_{1} + 99 r = 75 + 99 r

b_{100} = b_{1} + 99 r = 25 + 99 r

. Somando temos

a_{100} + b_{100} = 75 + 25 + 198 r = 496

, simplificando obtemos r=2. Portanto a₁₀₀=273 e b₁₀₀=223.

34) O 3º termo de uma PA é 11 e a razão é 4. A soma dos 20 primeiros termos é:

A) 790
B) 800
C) 810
D) 820
E) 830

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A alternativa correta é letra D

Primeiramente, a partir da fórmula do termo geral da PA de n = 20 termos, com o termo a₃ = 11 e a razão r = 4 dados, calculamos a₁ e a₂₀:

a_n = a₁ + (n-1).r

a₃ = a₁+ (3-1).4

11 = a₁ + 2.4

a₁ = 11 - 8

a₁ = 3

a₂₀ = a₁ + (20-1).4

a₂₀ = 3 + 19.4

a₂₀ = 3 + 76

a₂₀ = 79

A partir de a₁ e a₂₀, calculamos a soma dos 20 primeiros termos:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

S₂₀ = (a₁ + a₂₀).20/2

S₂₀ = (3 + 79).10

S₂₀ = 820

Alternativa D.

35) Uma empresa projetou as receitas mensais para o ano 2010 do seguinte modo: • A receita para janeiro é R$ 1 250 000,00. • Em cada mês, a receita é R$ 40 000,00 superior à do mês anterior. Nessas condições, a receita prevista para todo o ano de 2010 é:

A) R$ 17 520 000,00.
B) R$ 17 560 000,00.
C) R$ 17 680 000,00.
D) R$ 17 600 000,00.
E) R$ 17 640 000,00.

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A alternativa correta é letra E

Os valores das receitas mensais formam uma PA cujo primeiro termo é 1250000 e a razão é 40000. A soma dos 12 primeiros termos será a receita do ano de 2010, portanto

S = \frac{(a_{1} + a_{12}) . 12}{2} = 6 . (2 a_{1} + 11 r)

, substituindo obtemos

S = 17 640 000, 00

R$.

36) O 24º termo da P.A. 12, 2, 72, … é:

A) $35$ .
B) $45$ .
C) $28$ .
D) $38$ .
E) $\frac{25}{2}$

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A alternativa correta é letra A

Primeiramente, calculamos a razão da PA, através da fórmula do termo geral:

a_n = a₁ + (n-1).r

a₂ = a₁ + (2-1).r

2 = 1/2 + r

r = 3/2

Ainda usando a fórmula do termo geral, calculamos o 24º termo:

a₂₄ = a₁ + (24-1).r

a₂₄ = 1/2 + 23.3/2

a₂₄ = 1/2 + 69/2

a₂₄ = 70/2

a₂₄ = 35

37) A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminado em 44, vale:

A) 50
B) 40
C) 35
D) 25
E) 20

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A alternativa correta é letra D

Sabemos que os números pares consecutivos entre 6 e 44 totalizam 20 números, portanto, esses números constituem a PA (6, 8, ..., 44) de n = 20 termos e razão r = 2. A soma dos 20 termos é dada por:

S_n = (a₁ + a_n). n/2

S₂₀ = (a₁ + a₂₀).20/2

S₂₀ = (6 + 44).10

S₂₀ = 500

Como a média aritmética de 20 termos é a soma dos 20 termos dividido por 20, temos que a média m é dada por:

m = S₂₀/20

m = 500/20

m = 25

Alternativa D.

38) As medidas dos lados de um triângulo são 8, (x+3) e 20 e estão, nessa ordem, em PA. O perímetro desse triângulo é:

A) 34
B) 40
C) 42
D) 68
E) 80

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A alternativa correta é letra C

Pela definição da razão da PA, temos:

r = a₂ - a₁ = a₃ - a₂

x + 3 - 8 = 20 - x - 3

2x = 22

x = 11

Sendo assim, os lados do triângulo são iguais a: 8, 11+3, 20, ou seja, 8, 14, 20, e o perímetro é dado por:

P = 8 + 14 + 20

P = 42

Alternativa C.

39) (PUC-RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui:

A) R$ 200,00
B) R$ 180,00
C) R$ 150,00
D) R$ 120,00
E) R$ 100,00

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A alternativa correta é letra A

Pela fórmula do termo geral da PA, temos:

a₅ = a₂ + (5-2).r

400 - 250 = 3r

3r = 150

r = 50

a₂ = a₁ + r

250 = a₁ + 50

a₁ = 200

Alternativa A.

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40) Numa PA limitada em que o 1º termo é 3 e o último termo é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa PA tem:

A) 8 termos
B) 10 termos
C) 16 termos
D) 26 termos
E) 52 termos

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A alternativa correta é letra A

A soma dos primeiros n termos de uma PA é dada por:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

Nessa PA, S_n = 136, a₁ = 3 e a_n = 31, então:

136 = (3+31).n/2

136 = 34n/2

136 = 17n

n = 8 termos

Alternativa A.

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