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Seja SA a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (8, 12, …), e SB a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (17, 19, …). Sabendo-se que n ≠ 0 e SA = SB, o único valor que n poderá assumir é

A) múltiplo de 3.
B) múltiplo de 5.
C) múltiplo de 7.
D) divisor de 16.
E) primo.

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Resposta:

A alternativa correta é letra B

Da teoria de progressão aritmética sabemos que a soma dos termos de uma P.A limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos, e é dada pela seguinte expressão:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} . n

onde a₁ é o primeiro termo, a_n é o enésimo termo, n é o número de termos e S_né a soma dos n termos.
Aplicado a teoria ao problema:

P A (8, 12, 16 . . . . a_{n}) \{\begin{cases} \begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} = 8 \\ r = 4 \end{matrix} \end{matrix} \\ a_{n} = 8 + (n - 1) 4 \end{cases} ∴ S_{A} = \frac{[8 + 8 + (n - 1) 4] n}{2} = \frac{(12 + 4 n) n}{2} P A (17, 19, 21 . . . . a_{n}) \{\begin{cases} \begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} = 17 \\ r = 2 \end{matrix} \end{matrix} \\ a_{n} = 17 + (n - 1) 2 \end{cases} ∴ S_{B} = \frac{[17 + 17 + (n - 1) 2] n}{2} = \frac{(32 + 2 n) n}{2}

Como

n \neq 0,

12 + 4 n = 32 + 2 n \Rightarrow n = 10

Portanto, n é múltiplo de 5, a alternativa correta é a B.

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Seja SA a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (8, 12, …), e SB a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (17, 19, …). Sabendo-se que n ≠ 0 e SA = SB, o único valor que n poderá assumir é

Resposta:

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